Учебные материалы по математике | Независимость интеграла от вида пути интегрирования | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online
Главная ● Учебные материалы по математике ● Независимость интеграла от вида пути интегрирования

Независимость интеграла от вида пути интегрирования

где направление интегрирования берется против часовой стрелки.

Действительно, для окружности этот интеграл вычислен, так как функция голоморфна при $ z$неравном $ a$, то он будет таким же и для контура $ Gamma$.

Доказанное свойство (5.12), как это видно уже на примере, позволяет сводить задачу вычисления интегралов по замкнутым контурам сложной природы к вычислению интегралов по более простым контурам и является мощным средством для вычисления интегралов.

Сформулируем теперь следствие из теоремы Коши-Гурса для многосвязной области, то есть области с большим количеством "дыр". Пусть $ G$ограниченная область, граница которой состоит из конечного числа кусочно-гладких замкнутых жордановых кривых, и пусть функция $ f(z)$, определенна на замыкании $ overline {G} $, непрерывна в $ overline {G} $и голоморфна в $ G $. Тогда сумма интегралов от этой функции по всем граничным кривым равна нулю, если направление обхода кривых выбрать, например, так, чтобы при обходе область $ G$оставалась слева.

$displaystyle intlimits_{Gamma _0}+intlimits_{Gamma_1}+intlimits_{Gamm... ... intlimits_{Gamma_0}=intlimits_{-Gamma_1}+intlimits_{-Gamma _2} = 0 . $

Иными словами интеграл по внешнему контуру $ Gamma _{0} $равен сумме интегралов по внутренним контурам $ Gamma _{1} $и $ Gamma _{2}$, если во всех случаях берется интеграл по направлению против часовой стрелки и между контурами подинтегральная функция голоморфна. Разумеется аналогичное утверждение справедливо и для большего числа чем два внутренних контуров.

Независимость интеграла от вида пути интегрирования. Пусть функция $ f(z)$голоморфна в односвязной области $ G$. Возьмем две точки $ z_{0} ,z_{1} in G$и соединим их двумя различными кусочно-гладкими простыми кривыми $и $ Gamma_{2} = z_{0} xi z_{1} $. Из этих кривых можно составить замкнутый контур $ z_{0} zeta z_{1} xi z_{0} $.

По теореме Коши-Гурса

$displaystyle ointlimits_{z_{0} zeta z_{1} xi z_{0} } {fleft( {z} right)dz = 0} $

разбиваем интеграл в сумму двух

$displaystyle 0 = ointlimits_{z_{0} zeta z_{1} xi z_{0} } {fleft( {z} rig... ...left( {z} right)dz} + ointlimits_{z_{1} xi z_{0} } {fleft( {z} right)dz} $

$displaystyle = intlimits_{Gamma_{1} } {f(z)dz - } intlimits_{Gamma_{2} } {f(z)dz} $

отсюда

$displaystyle intlimits_{Gamma_{1} } {f(z)dz = } intlimits_{Gamma_{2} } {f(z)dz} $

Следовательно, интеграл от голоморфной в односвязной области функции не зависит от вида пути интегрирования, а зависит только от положения его начала и конца.

В условиях, когда интеграл не зависит от вида пути интегрирования его можно обозначать так

$displaystyle intlimits_{z_{0} }^{z_{1} } {fleft( {z} right)dz} $

Первообразная функция. Как и в обычном анализе первообразной функцией от данной функции называется функция, производная которой равна данной функции.

По определению для первообразной функции $ F(z)$мы имеем $ {F}'left( {z} right) = fleft( {z} right)$. Следовательно, если функция $ f(z)$имеет в области $ G$первообразную, то эта первообразная дифференцируема в области и поэтому первообразная голоморфна.

Две первообразные от одной и той же функции отличаются на постоянное слагаемое. Действительно, если $ F'( z ) = f (z)$и $ F'_1 ( z ) = f( z )$, $ z in G$, то $ [ F'( z ) - F'_1 ( z) ]' = f( z ) - f( z ) =0$. Отсюда следует, что $ F( z ) - F_1 ( z) = C$или $ F( z ) = F_1( z ) + C$.

Лемма о существовании первообразной. Если функция $ f(z)$непрерывна в области $ G$и интеграл от нее не зависит от вида пути интегрирования, то она имеет в этой области первообразную.

Доказательство. Зафиксируем точку $ z_{0} in G$и введем функцию

$displaystyle F(z) = intlimits_{z_{0} }^{z} {fleft( {zeta } right)dzeta , qquad z in G}$

(5.13)

Покажем, что она как раз и является искомой первообразной. Вычисляем

$displaystyle frac{{Fleft( {z + Delta z} right) - Fleft( {z} right)}}{{D... ...zeta - } intlimits_{z_{0} }^{z} {fleft( {zeta } right)dzeta } } right] $

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020