Неравенство чебышева

Неравенство Чебышева

Вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее математического ожидания по абсолютной величине больше положительного числа , не больше чем, D(x)/ 2.(дисперсия должна быть ограничена и )

Докажем, это неравенство для непрерывной случайной величины с плотностью вероятности P(X)

Неравенство Чебышева часто используется для противоположного события

19.Теорема Чебышева. Теорема Бернулли.

Пусть 1, 2,…, n, … – последовательность независимых случайных величин, имеющих конечные дисперсии, ограниченные одним и тем же числом С, то для любого >0 выполняется Суть закона больших чисел. Если число случайных величин неограниченно растет, то их среднее арифметическое утрачивает смысл случайной величины и стремится к постоянному числу, равному среднему арифметическому их матожиданий. Этот результат дает обоснование для теории ошибок. Следствием теоремы Чебышева является теорема Бернулли. Пусть — число появления события А в n испытаниях в схеме Бернулли, и p – вероятность появления А в одном испытании. Этот результат дает обоснование для теории ошибок. Следствием теоремы Чебышева является теорема Бернулли.

Пусть — число появления события А в n испытаниях в схеме Бернулли, и p – вероятность появления А в одном испытании.

Частным случаем закона больших чисел является теорема Бернулли. Пусть в схеме Бернулли вероятность появления события А в одном испытании равна р. Теорема. При

20.Центральная предельная теорема.

. Многие задачи ТВ связаны с изучением суммы независимых случайных величин, которая при определенных условиях имеет распределение, близкое к нормальному. Эти условия выражаются центральной предельной теоремой:

Пусть 1, 2,…, n,… – последов-ть независимых случ величин, имеющих ограниченные дисперсии. Обозначим = 1 + 2 +…+ n. Говорят, что к послед-ти 1, 2,…, n,… применима ЦТП, если при закон распределения стремится к нормальному.

Частным случаем ЦТП является интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа Пусть , . Ранее показано, что и Тогда

Суть ЦТП: при неограниченном увеличении числа случайных величин закон распределения суммы стремится к нормальному.

21.Выборочный метод.

Пусть изучается некоторые количественный признак Х (например, рост стоимости товаров) и пусть для его изучения имеется некоторая совокупность объектов. Иногда исследуются все объекты совокупности, иногда только их часть. Совокупность объектов, взятых для исследования, называется выборкой. Совокупность объектов, из которых взята выборка, называется генеральной. Число объектов совокупности называется объемом.

Чтобы выборка хорошо отражала генеральную совокупность, она должна быть случайной и выборочные значения должны быть независимыми. Перечень вариант, записанных в возрастающем порядке и соответствующих частот (относительных частот), называется статистическим распределением выборки или вариационным рядом.

Относит частотами назотношение частоты к объему выборки: . Для описания изучаемого признака вводится понятие эмпирической функции распределения. Пусть Х – изучаемый признак, .

22.Эмпирическая функция распределения и ее свойства.

Эмпирич функцией распределения наз функция, определяющая для каждого значения x относительную частоту события — число вариант меньших ,— объем выборки. В теории вероятностей определяет вероятность события . На основании закона больших чисел можно показать, что при эмпирическая функция распределения стремится к теоретической

. Таким образом, эмпирическая функция распределения строится для оценки вида теоретической функции определения. Свойства: 1. Для любого x функция распределения заключена в интервале от 0 до 1: 0. 2. –неубывающая функция. 3. непрерывна слева в каждой точке . 4. Если , то для каждого Если , то для каждого