Учебные материалы по математике | Неприводимые над полем действительных чисел многочлены | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Неприводимые над полем действительных чисел многочлены


Напомним, что комплексное число , где называется мнимым, если . Если , то через будем обозначать сопряженное комплексное число .

Используя свойства сопряженных комплексных чисел ,

если , легко доказать следующее предложение:

Предложение 1: Если многочлен из кольца и z – произвольное комплексное число, то .

Доказательство: Пусть ▲.

Теорема 3. Пусть произвольный многочлен из кольца . Если – мнимый корень многочлена , то число также является корнем этого многочлена.

Доказательство: Так как – корень , то . Тогда по предложению 1, – корень . ▲.

Неприводимые над полем действительных чисел многочлены

Теорема 4. Пусть многочлен, степень которого больше единицы, неприводимый над полем действительных чисел . Тогда существуют такие , , что многочлен ассоциирован с многочленом .

Доказательство: По основной теореме алгебры многочлен имеет хотя бы один комплексный корень. Пусть – корень многочлена , где . Обязательно . Действительно, если допустить, что , то – действительный корень , а тогда делится на многочлен и поскольку степень , то это противоречит неприводимости многочлена над полем . Итак, .

Значит – мнимый корень многочлена , а тогда, по теореме 3, число также является корнем многочлена . Значит, по следствию из теоремы Безу, делится на и на .

А тогда делится на их произведение . При этом, и – неприводим над (так как не имеет действительных корней). Но неприводим над ассоциированы, то есть ▲.

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод