Неприводимые над полем действительных чисел многочлены

Напомним, что комплексное число , где называется мнимым, если . Если , то через будем обозначать сопряженное комплексное число .

Используя свойства сопряженных комплексных чисел ,

если , легко доказать следующее предложение:

Предложение 1: Если многочлен из кольца и z – произвольное комплексное число, то .

Доказательство: Пусть ▲.

Теорема 3. Пусть произвольный многочлен из кольца . Если – мнимый корень многочлена , то число также является корнем этого многочлена.

Доказательство: Так как – корень , то . Тогда по предложению 1, – корень . ▲.

Неприводимые над полем действительных чисел многочлены

Теорема 4. Пусть многочлен, степень которого больше единицы, неприводимый над полем действительных чисел . Тогда существуют такие , , что многочлен ассоциирован с многочленом .

Доказательство: По основной теореме алгебры многочлен имеет хотя бы один комплексный корень. Пусть – корень многочлена , где . Обязательно . Действительно, если допустить, что , то – действительный корень , а тогда делится на многочлен и поскольку степень , то это противоречит неприводимости многочлена над полем . Итак, .

Значит – мнимый корень многочлена , а тогда, по теореме 3, число также является корнем многочлена . Значит, по следствию из теоремы Безу, делится на и на .

А тогда делится на их произведение . При этом, и – неприводим над (так как не имеет действительных корней). Но неприводим над ассоциированы, то есть ▲.