Учебные материалы по математике | Неопределённый интеграл

14. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

14.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Если , то .

14.2. Основные свойства неопределённого

интегр ла

1. ,

2. , где

3. + .

14.3. Основные методы интегрирования

14.3.1 Метод замены переменной ( он же — метод подстановки ):

если то .

14.3.2. Подведение под знак дифференциала

как один из частных приёмов замены переменной:

14.3.3. Метод интегрирования по частям

14.4. Таблица основных интегралов

Таблица производных	Таблица интегралов	Обобщенные интегралы
1º		1.
2º		2.
3º 4º		3. 4.
5º 6º 7º 8º		5. 6 7 8
9º 10º 11º 12º		9 10 11 12
13º 14º 15º 16º		13 14 15 16
17º		17
18º		18

14.5. Обзор используемых приемов интегри-

рования

14.5.1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ, СОДЕРЖАЩИХ КВАДРАТНЫЙ

ТРЁХЧЛЕН В ЗНАМЕНАТЕЛЕ

I. II.

Частные случаи

Методы вычисления

1). В числителе стоит производная квадратного трёхчлен:

Эти интегралы вычисляются так:

;

2). В числителе отсутствует х:

а) ,

б)

В обоих случаях в знаменателе выделяют полный квадрат из квадратного трёхчлена. В результате приходят к одному из табличных интегралов:

a) Для первого интеграла приходят к виду :

или ;

б) Для второго интеграла (в зависимости от знака а) интеграл приводится к одному из табличных интегралов: a>0: ,

или a<0 :

Общий случай

II.

1) В числителе 1-го интеграла выделяют производную квадратного трёхчлена (это можно сделать, например, делением числителя на () “уголком”) ; в результате получают два интеграла вида:

где m,n – известные числа, которые появляются после выделения производной, которые являются рассмотренными частными случаями.

2) После выделения в числителе производной квадратного трёхчлена (во 2-м интеграле), приходят к сумме двух интегралов: ,

которые являются уже рассмотренными частными случаями.

14.5.2. Простейшие рациональные дроби

I типа

II типа

III типа

IV типа

Интегрирование простейших рациональных дробей
I
II
III		Вычисление интеграла рассмотрено в пункте 14.5.1.
IV		Пример. . Поступают так же, как в предыдущем случае. В числителе выделяют производную квадратного трёхчлена, стоящего в знаменателе (например, способом деления “уголком”): . Тогда: Первый интеграл табличный. Ко второму интегралу следует применить *рекуррентную формулу*

Рекуррентная формула:

14.5.3. Интегрирование рациональных дробей

	Вид интеграла	Метод интегрирования
		1) Если дробь неправильная (т. е. степень числителя больше или равна степени знаменателя: ), то по правилу деления многочлена на многочлен эту дробь всегда можно представить в виде суммы целой рациональной функции и правильной дроби: =.
	=	2) Целая часть интегрируется непосредственно. Задача свелась к интегрированию правильной дроби. 3) Знаменатель правильной рациональной дроби разлагают на множители первой степени (х – а) (некоторые из них могут повторяться ) и множители второй степени, не имеющих действительных корней (т. е. дискриминант меньше нуля); некоторые из этих множителей также могут повторяться.
	= =++ . . . +.	4) Если знаменатель правильной рациональной дроби разлагается на множители вида , то каждому множителю соответствует дробь вида , и т. д.
	Пример. =	5) Знаменатель содержит только множители пер вой степени, но некоторые из них повторяются, например: . Тогда каждому множителю вида соответствует следующая сумма дробей: .
	Пример. =	6) Знаменатель правильной дроби содержит множители второй степени . Каждому такому множителю соответствует правильная дробь вида .
	Пример. =	7) Некоторые множители второй степени повторяются, например, . Каждому такому множителю соответствует сумма дробей :

8) Неизвестные коэффициенты разложения А, В, С и т. д. можно находить двумя способами.

Первый способ (метод неопределённых коэффициентов или по другому — метод сравнения коэффициентов). Он состоит в следующем.

· Правильную рациональную дробь разлагают на сумму простейших (как описано выше);

· В правой части этого разложения дроби складывают (приводят к общему знаменателю и т. д.), получают также правильную дробь, после чего знаменатели левой и правой частей (а они одинаковые!) отбрасывают.

· Получают тождественное равенство, в левой части которого стоит многочлен с известными коэффициентами, а в правой части стоит многочлен с неизвестными коэффициентами. Приравнивая коэффициенты многочленов при одинаковых степенях х , получим линейную систему из n уравнений c n неизвестными. Решив её, найдём искомые коэффициенты.

Второй способ (метод частных значений).

В полученное тождественное равенство двух многочленов подставляют конкретные числовые значения x . Этим самым вновь получают систему линейных уравнений, из которых и найдутся неизвестные коэффициенты разложения. Для простоты вычислений удобнее придавать переменной x значения, при которых знаменатель правильной дроби обращается в нуль (т. е. значения корней знаменателя ).

Замечание. В практических вычислениях нередко применяют комбинированный прием, т. е. для определения одних коэффициентов применяют первый способ, других – второй.

Пример. Рациональную дробь разложить на сумму простейших.

Решение. Дробь правильная, множитель не имеет действительных корней (т. е. не разлагается на множители), следовательно, разложение имеет вид:

= .

Коэффициенты А. В.С.D,E подлежат определению.

Приводя к общему знаменателю и отбросив его, получаем:

или, после очевидных преобразований,

Приравнивая коэффициенты многочленов, стоящих в левой и правой частях тождества, приходим к системе:

х4

х3

х2

х1

х0

Решив систему, получаем: .

Следовательно, =.

15.5.4. Интегрирование некоторых иррациональ-

ностей

Буква R означает, что над величинами производятся рациональные действия: сложение, вычитание, умножение (в том числе на постоянный множитель), возведение в целую степень (как положительную, так и отрицательную), деление.

Интегрирование таких выражений приводится к интегрированию рациональных функций с помощью подстановки:

где к – общий знаменатель дробей .

Приводится к интегрированию рациональной функции заменой

к – общий знаменатель дробей .

14.5.5. Интегрирование квадратичных иррациональностей

Подстановки Эйлера

если а >0

Для определённости перед возьмём знак плюс.

Тогда , отсюда — рациональная функция от t, (значит рациональной функцией будет и ), следовательно, .

Таким образом интеграл преобразуется в интеграл от рациональной функции от t

= , если с>0

Возводя в квадрат обе части, получаем (для определённости взяли знак плюс перед ):

= . Отсюда х определяется как рациональная функция от t: .

Следовательно, и dx и корень рационально выражаются через t , значит интеграл сведён к интегралу от рациональной функции от t.

Пусть — действительные

различные корни трёхчлена .

Полагаем

Так как = , то

, отсюда .

В результате интеграл преобразуется в интеграл от рациональной функции

· Интегрирование ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ биномов

Здесь a, b — произвольные постоянные, m, n, p – рациональные числа. Такие интегралы сводятся к интегралам от рациональной функции в следующих трёх случаях (применяя подстановки П. Л.Чебышева).

1.	Когда р – целое число (положительное, отрицательное или нуль)	Выполняют подстановку , где k—общий знаменатель дробей m, n. В результате приходят к интегралу от рациональной функции.
2.	Когда — целое число (положительное, отрицательное или нуль)	Интегрируется путём подстановки , где k — знаменатель дроби р. Получают интеграл от рациональной функции.
3.	Когда — целое число (положительное, отрицательное или нуль)	Интегрируется путём подстановки , где k — знаменатель дроби р ; получают интеграл от рациональной функции

14.5.6. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Здесь буква R, как и выше, означает, что над синусом и косинусом производятся рациональные операции.

Если

т. е. подынтегральное выражение является нечётным относительно sin x,

то подойдёт подстановка

cos x = t.

Тогда (см. рис.): ,

, .

После подстановки в подынтегральное выражение получится просто рациональная функция от t.

Если ,

т. е. подынтегральное выражение является нечётным относительно cos x,

то подойдёт подстановка

sin x = t.

Тогда (см. рис.): ,

, .

После подстановки в подынтегральное выражение получится рациональная функция от t.

Если ,

т. е. подынтегральное выражение не изменяется при одновременной замене sin x на —sin x и

cos x на -cos x,

то подойдёт подстановка

tg x = t .

Тогда (см. рис.):

, ,

, .

После замены получится рациональная функция относительно t.

Во всех трех случаях, а также во всех остальных случаях подойдёт универсальная подстановка

В этом случае получаем:

Тогда

, ,

, .

После подстановки в подынтегральное выражение получаем рациональную

функцию от переменной t

Замечание. Стоит ли во всех случаях применять универсальную подстановку?

Не стоит, т. к. её применение нередко приводит к значительному усложнению вычислений.

14.5.7. Интегрирование некоторых иррациональностей с помощью тригонометрических подстаново

, ,

Подстановка .

Тогда , .

Подстановка .

Тогда ,

Подстановка .

Тогда ,

14.6. ТАБЛИЦЫ ЧАСТО ВСТРЕЧАЮЩИХСЯ ИНТЕГРАЛОВ

()

14.6.1. Интегралы от рациональных функций, содержащих

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.

14.6.2. Интегралы от рациональных функций, содержащих

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

14.6.3. Интегралы от иррациональных функций, содержащих

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

14.6.4. Интегралы от функций, содержащих

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

—

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

14.6.5. Интегралы от некоторых иррациональностей

1.

2.

3.

4.

5.

14.6.6. Интегралы, содержащие показательную и логарифмическую функции

1.

2.

3.

4.

5.

14.6.7. Интегралы, содержащие тригонометрические функции

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

14.6.8. Интегралы, содержащие обратные тригонометрические функции

1.

2.

3.

4.

5.

6.

14.6.9. Интегралы, содержащие гиперболические функции

1.

5.

2.

6.

3.

7.

4.

ДЛЯ ЗАМЕТОК
15. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

15.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ

15.1.1. Определённый интеграл как предел интегральной суммы

, где .

15.1.2. Геометрический смысл определённого интеграла – площадь криволи-

b

нейной трапеции.

15.2. Формула Ньютона – Лейбница вычисления

определённого интеграла

Если непрерывна на отрезке или имеет конечное число конечных разрывов ( I рода ) и , то

15.3. Основные свойства определённого

интеграла.

1) = = ,

т. е. результат не зависит от обозначения переменной

интегрирования.

2) .

3) .

4) = + .

5) , где А – пост. .

6) = + .

7) Теорема о среднем: = , где

.

15.4. Основные методы интегрирования

15.4.1. Метод замены переменной

Если и , , то

= .

15.4.2. Метод интегрирования по частям

.

15.5.Приближенные вычисления определённых

интегралов

Промежуток интегрирования от а до разбивают на n равных частей и для точек деления вычисляют значения интегрируемой функции . Затем используют одну из следующих формул, полагая :

а) формула прямоугольников: ;

б) формула трапеций: ;

в) формула парабол (Симпсона), n – чётное:

.

16. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

16.1. Интегралы с бесконечными пределами

а) .

б) .

в) ,

где с – некоторая точка промежутка .

16.2. Интегралы от разрывных функций

Если непрерывна во всех точках отрезка за исключением точки с, в которой имеет бесконечный разрыв (разрыв II рода), то

= + = + .

17. Некоторые определённые и несобственные интегралы

1.

11.

2.

12.

3.

13.

4.

14.

5.

15.

6.

16.

7.

17.

8.

18.

9.

19.

10.

20.

18. Приложения определенных интегралов

18.1. Вычисление площадей

18.1.1. В прямоугольных координатах

с

18.1.2. В полярных координатах

18.2. Вычисление длин дуг

18.2.1. в прямоугольных координатах

Длина дуги гладкой кривой в прямоугольных координатах от точки до точки :

.

18.2.2. в полярных координатах

Длина дуги гладкой кривой в полярных координатах от точки

до точки :

.

18.2.3. КРИВАЯ ЗАДАНА В ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ

Длина дуги гладкой кривой , заданной в параметрической

форме, : .

18.3. Вычисление объёмов тел

18.3.1. Объём тела с известным поперечным сечением

18.3.2. Объём тела вращения вокруг оси Ох кривой

18.3.3. Объём тела вращения вокруг оси Оу кривой

18.4. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ дуги кривой

18.4.1. Кривая задана уравнением

Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох дуги кривой между точками с абсциссами , выражается формулой ,

где — дифференциал дуги кривой.

18.4.2. Кривая задана параметрическими уравнениями:

,

где — значения параметра , соответствующие концам вращаемой дуги.

18.5. Работа переменной силы

Работа переменной силы на участке :

ДЛЯ ЗАМЕТОК