Необходимый признак экстремума

Необходимый признак экстремума: ф-ия f(x) может иметь max и min только в тех точках, в которых f`(x)=0 или не существует.

Достаточный признак: точка х0 является точкой экстремума, если ее производная в этой точке меняет знак:

— если с “+” на “-”, то х0- т. max

— если с “-” на “+”, то х0- т. min

38. Усл. выпукл. и вогнутости ф-ции. Точки перегиба. Асимптоты. Общ. схема исслед.

Линия назыв. выпуклой, если она пересек. с любой своей секущей не более чем в 2х точ.

Линия наз-ся вогнутой, если она целиком лежит по 1 сторону от касательной, проведенной в любой ее точке.

Необходимый признак выпук. и вогнутости: если линия на интер. выпук., то ее f«(x)<=0; если линия на интер. вогн., то ее f«(x)>=0

Достаточный признак: если f«(x) всюду в интервале “-”, то линия в интервале выпуклая; если f«(x)>0, то линия вогнутая

Точка перегиба — точка, отделяющая выпуклый участок дуги от вогнутого.

Асимптота — прямая, к которой график ф-ции стремится, но никогда ее не пересекает.

Схема исслед. функции. Найти:
— обл. определения ф-ции

-точки разрыва и интер, где ф-ция явл. непр.

-поведение ф-ции в окрестностях точки разрыва, вертикальной асимптоты

-т. пересечения графика с осями координат

-симметрия графика (чет./нечет)

-периодичность; — интервалы монотонности

-точки экстремума; — наибольшее и наим. значение — выпуклость, вогнутость

-точки перегиба

-поведение ф-ции в бесконечности, наклонная и горизонтальные асимптоты

-нанесение на график.

39. Первообр. функции и неопр. интеграл. Св-ва неопр. инт. Таблица неопр. интегр.

Функция F(x) наз-ся первообразной ф-ции f(x) на определенном интервале, если

F'(x)=f(x) или dF(x)=f(x)dx.

Неопр. Интеграл — совок. всех первообр. для f(x), определенная на интерв. Х(∫f(x)dx=F(x)+c
Осн. теор. интегрирования: Если ф-ция f(x), опред. на интер. x, имеет 1 первообразную F(x), то она имеет бесконечное число первообразных, все они описываются выр-ем F(x)+c, где c-const. Свойства:

1.  постоянную можно вынос. за знак интег.

2.  интеграл суммы равен сумме интегралов

3.  произв. от инт. равна подынтегр. функции

4.  интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс постоянная интегрирования.

40. Интегрирование по частям и замена переменных в неопределённом интеграле.

Интег. по частям — один из способов нахожд. интеграла. Суть метода:: если подынтегральная функция может быть представлена в виде произвед. двух непр. и гладких функций (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией), то справедлива следующая формула для неопределённого интеграла:

Для упрощения вычисления интеграла часто удобно выполнить замену переменной. Переход от x к новой переменной u описывается выражением

где x = g (u) — подстановка. Соответственно, обратная функция u = g −1(x) описывает зависимость новой переменной от старой.

дифф. dx должен быть заменен на дифф. новой переменной du. Для опред. инт., необход. также измен. пределы интегр-ния.

41. Интегр. рациональных, иррациональных и тригонометрических функций.

Интегрирование рац. функций — Функция называется рациональной, если она вычисляется с помощью четырех арифм. действий, то есть в общем случае является частным от деления двух многочленов:Pn(X)/Qm(X)

Общий принцип интегр. иррациональных выражений заключается в замене переменной, позволяющей избавиться от корней в подынтегральном выражении. Для некоторых классов функций эта цель достигается с помощью стандартных замен.

При интегрировании тригонометрических функций используется метод универсальной тригонометрической подстановки.

42. Опред. интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Осн. свойства опред. интеграла.

Определенный интеграл — это функция, производная от которой дает подынтегральную функцию. ОИ ф-ции y=f(x) на отрезке наз-ся предел инт-ых сумм.

Свойства:

1) Линейность. Если функции y = f(x), y = g(x) интегрируемы по отрезку [a, b] , то по этому отрезку интегрируема их линейная комбинация A f(x) + B g(x) (A, B = const)

2) Аддитивность. Если y = f(x) интегрируема по отрезку [a, b] и точка c принадлежит этому отрезку, то

3) Интеграл от единичной функции ( f(x) = 1). Если f(x) = 1, то

4)Теорема об интегр. неравенств. Если в любой точке x¢[a. b] выполн. неравенство , и функции f(x), g(x) интегрируемы по отрезку [a, b], то

Теорема Ньютона-Лейбница.

Теорема: Опред. интеграл от непрерывной ф-ции равен разности значений любой ее первообразной для верхнего и нижнего предела интегрирования. Формула Ньютона-Лейбница связывает неопред и опред интегралы. Если ф-ция y=f(x) непрерывна на отрезке ,а ф-ция F(x)-какая-либо ее первообразная (т. е. F’(x)=f(x)), то . Эта формула сводит нахождение опред интегр к нахождению неопред интегр. РазностьF(b)-F(a) обозначается F .

43. Формула интегр. по частям для опр. интеграла. Необх. условия интегрируемости функций. Дост. условия интегрир. функций.

Формула интегрирования по частям для определённого интеграла. Если u(x), v(x) — непрерывно дифференцируемые функции, то .

Необходимое условие интегрируемости.

Если функция интегрируема на отрезке, то она ограничена на нем.

Необходимое и дост. усл. интегрируемости.

Для того, чтобы ограниченная на некотором отрезке функция была интегрируема на нем необходимо и достаточно, чтобы lim∣τ∣→0(Sτ−sτ)=0

44. Примен. опред. интеграла в экономике. Прим. опред. интеграла для вычисления площадей фигур и объёмов тел вращения.

Для неотрецательной непрерывной функцыи y=f(x), заданной на отрезке [а, в], интеграл ∫f(x)dx равен площади криволинейной трапеции, ограниченой прямыми x=a, x=b, осью Оx и графиком функции y=f(x)

В случае, когда функция y=f(x) неположительная, то ∫f(x)dx равен площади соответствующей криволинейной трапеции, взятой со знаком минус. Для произвольной непрерывной функции y=f(x) интеграл ∫f(x)dx равен сумме площадей криволинейных трапеций, лежащих под графиком функции f(x) и выше оси Ох, минус сумма площадей криволинейных трапеций, лежащих выше графика f(x) и ниже оси Ох. (рис.2)

45. Вычисление двойного интеграла. Применение двойного интеграла.

Дв. инт. — это обобщение опред. интеграла на двумерный случай. Т. е. для определения понятия двойного интеграла используется функция, зависящая уже от двух перемен-х: f(x, y). Эта функция должна быть определена на некоторой, обладающей конечной площадью, области D плоскости X0Y. При этом граница области D должна состоять из конечного числа графиков непр. функций. Вычисл. двойного интег. сводится к вычисл. повторных интегралов.

Способы вычисления:

I. с помощью двойного интегрирования.

II. Замена переменной в двойном интеграле.

Двойные интегралы обладают такими же свойствами, как и определённые интегралы (линейность, аддитивность, формулы среднего значения и т. д.)

Геом. смысл двойного интеграла: при неотриц. функции f(x, y), дв. интеграл по области D предст. из себя объем криволин. цилиндра, который построен на области D и ограничен сверху поверхностью z=f(x, y).

46. Несобственные интегралы.

При введении понятия опред. интеграла предполагалось, что выполняются условия: 1)пределы интегрирования a и b являются конечными; 2) подынтегральная функция f(x) ограничена на отрезке [a;b]. В этом случае опред. интеграл наз. собственным. Если хотя бы одно из двух указанных усл. не выполн., интеграл назыв. несобственным.

При b→+ функция имеет конечный предел; этот предел называется сходящимся несобственным интегралом от функции f(x) по промежутку [a,+ и обозначается