Учебные материалы по математике | Необходимые условия экстремума дифференцируемой функции | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Необходимые условия экстремума дифференцируемой функции


Ф-я непрер-на в т. М0(x0,y0),если справедливо равен-во .

Если переменной х дать некот. приращение ∆х, а у остовить без изм-й, то Z=f(x, y) получит приращение ∆хZ – частное приращение Z по переменной х, равное f(x+∆x, y)-f(x, y). Аналогично частное приращ-е Z по перем-й у опред-ся ∆уZ =f(x, у+∆y)-f(x, y).Если сущ-т пределы , то эти пределы наз-ся частными произв-ми ф-и Z=f(x, y) по переменным х и у соотв-но. Т. к. частное произв-ое по любой перем-ой явл-ся произв-ой по этой перем-й при усл-и, что остальные перем-е постоянны, то все правила и фор-лы дифф. ф-и одной перем-ой применимы для нахожд-я частной произв-ой ф-и числа переменной. Диф-ал ф-и Z=f(x, y), найден-й при усл., что одна из независ. перем-х изм-ся, а другая остается постоянной, наз-ся частным диф-ом:

dxZ=f’x(x, y)dx dx=∆x; dyZ=f’y(x, y)dy dy=∆y. Полное приращение ф-и Z=f(x, y): ∆Z=f(x+∆x, y+∆y)-f(x, y). Главная часть полного приращ. ф-и Z=f(x, y) линейнозавис-щая от приращ-ия независ. перем-х ∆х,∆у, наз-ся полным диф-лом ф-и и обознач-ся dZ. Если ф-я имеет непрер. частные произв-ые, то полный диф-л сущ-т и равен: , где dx=∆x, dy=∆y– произвольн. приращения незаис-х переменных.

46.Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума

Рассмотрим функцию z=f(х, у) определенную в некоторой об­ласти.

Максимумом функции z=f(x,y) называется такое ее значение f(, ), которое больше всех других значений, принимаемых в точ­ках М(х, у), достаточно близких к точке М1(х],у}) и отличных от нее, т. е.

f(, )> f(х, у)

Минимумом функции z=f(х, у) называется такое ее значение f(х2, у2), которое меньше всех других значений, принимаемых в точ­ках М(х, у), достаточно близких к точке М2(х2,у2) и отличных от нее, т. е.

f(х2, у2)< f(х, у)

Максимум и минимум функции называют экстремумом. Точки, в которых достигается экстремум, называются точками экстремума.

Необходимые условия экстремума дифференцируемой функции нескольких переменных выражается следующими теоремами:

Теорема 1.

В точке экстремума дифференцируемой функции все ее первые частные производные равны нулю, если-экстремум ф-ции.

Теорема 2.

Пусть функция z=/(х, у) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно в некоторой окрестности точки М0(а, b).

Если ее первые частные производные в точке М0 равны нулю, а вторые принимают значения

(a, b)=A, (a, b)=B, (a, b)=C,

То при

-АС<0 и А>0

точка М0 является точкой минимума данной функции, а при

В2-АС<0, А<0

точкой максимума, при

В2-АС>0

в точке М0 экстремума нет.

47.Метод наименьших квадратов

При обработке опытных данных часто встречаются с задачей об определении параметров функциональной зависимости между переменными величинами x и y посредством формулы y=f(x).Эта задача решается с помощью метода наименьших квадратов, сущность которого состоит в следующем. При измерении двух величин x и y получены следующие данные:

x

Х1

X2

xn

y

Y1

Y2

yn

Известен также вид функциональной зависимости, т. е.

y=f(x,,,…,)=φ(x) (1),

где f-заданная функция; ,,…, — параметры, значения которых требуется определить. Значения у, полученные из формулы (1) при заданных значениях (i=1, 2,…, п), как правило, не совпадают с экспериментальными значениями ,приведенными в указанной таблице, т. е. разность -φ() отлична от нуля для всех или некоторых точек (i = 1, 2, …, n). Для каждого i эту разность обозначим через ε, и назовем погрешностью:

-φ()=ε (i = 1, 2,…, п) (2) .

Значения параметров (k = 0, 1,…, m) функции (1) тре­буется выбрать так, чтобы сумма квадратов погрешностей была наименьшей, т. е. так, чтобы функция

u=ε = ( -φ()) (3)

принимала наименьшее значение. Поскольку эта функция — сумма квадратов некоторых чисел, она принимает неотрицательные значении (каждое слагаемое суммы неотрицательно).

Функция (3) является функцией т+1 переменых ,,…, ат, т.е.

и=и(,, …., ат)=(f( ,,,…, ))2 (4).

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод