Найти производную функции

1. Найти производную функции:

.

Решение:

2. Найти производную функции:

Решение:

3. Задан закон изменения пути движения материальной точки. Требуется найти значения скорости и ускорения этой точки в момент : , .

Решение:

Скорость

Тогда

В момент времени :

Ускорение

Тогда

В момент времени :

.

4. Составить уравнение касательной и нормали к кривой в точке с абсциссой :

Решение:

Уравнение касательной имеет вид:

у=k×x+b,

где

Уравнение примет вид: у=4х+b (*)

При х0=2 у0=22–4=0

То есть касательная проходит через точку (2;0)

Подставим полученные координаты в уравнение (*):

0=4×2+b

b= –8

Окончательно получим уравнение касательной: у=4х–8

Уравнение нормали: y=k1x+b

Нормаль перпендикулярна касательной, следовательно соотношение угловых коэффициентов:

Тогда уравнение примет вид: у=х+b (**)

Нормаль также проходит через точку (2;0)

Следовательно, из уравнения (**) получим:

Окончательно получим уравнение нормали:

Ответ:

уравнение касательной: у=4х–8 ;

уравнение нормали: .

5. Найти экстремумы функции:

Решение:

Найдем производную данной функции:

Экстремумы – это точки, в которых производная равна нулю.

Следовательно,

Изображаем на оси координат.

Находим значения функции на интервалах:

у'(-5)=

у'(0)=

у'(5)=

Следовательно,

6. Найти неопределенный интеграл:

.

Решение:

7. Найти определенный интеграл:

Решение:

8. Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями:

Решение:

Построим кривые:

Найдем точки пересечения кривых:

Площадь фигуры:

Ответ: Sфигуры=.