Мода дискретного вариационного ряда
или .
Определение 8. Модой дискретного вариационного ряда называется варианта, которой соответствует наибольшая частота.
Если ряд интервальный, то вводится понятие модального интервала.
Определение 9. Модальным интервалом называется интервал , имеющий наибольшую частоту.
Мода в этом случае вычисляется по формуле:
,
где Xik – нижняя граница модального интервала;
h – ширина модального интервала;
nk – частота модального интервала;
nk-1, nk+1 – частота интервалов, предшествующего модальному и следующего за ним.
Особенностью моды является то, что она не изменяется при изменении крайних членов вариационного ряда, т. е. обладает определенной устойчивостью к вариации признака.
Определение 10. Медианой называется то значение варианты, относительно которого статистическая совокупность делится на две равные по объему части, причем в одной из них содержатся члены, у которых значение признака не больше, чем , а в другой – не меньше медианы.
Если ряд дискретный с нечетным числом членов, то медиана равна значению серединной варианты, если вариационный ряд содержит четное число членов, то медиана равна полусумме серединных вариант:
.
Для интервального вариационного ряда сначала находят медианный интервал , который содержит середину вариационного ряда. Медиана в этом случае определяется по формуле
,
где X1k – нижняя граница медианного интервала;
h – ширина медианного интервала;
n – объем совокупности;
n1+n2+…+nk-1 – сумма вариант интервалов, лежащих слева от медианного;
nk – частота медианного интервала.
Определение 11. Групповой дисперсией называется дисперсия значений признака, принадлежащих группе относительно групповой средней
,
где nj – объем группы j;
групповая средняя группы j.
Определение 12. Внутригрупповой дисперсией называется средняя арифметическая дисперсий, взвешенная по объемам групп
,
где nj – объем группы j;
n – объем выборочной совокупности;
DjГР – дисперсия группы j.
Определение 13. Межгрупповой дисперсией называется дисперсия групповых средних относительно общей средней
,
где – групповая средняя группы j;
общая средняя;
nj – объем группы j;
n – объем всей совокупности.
Определение 14. Общей дисперсией называется дисперсия значений признака всей совокупности относительно общей средней.
.
Для общей дисперсии выполняется теорема:
Теорема. Общая дисперсия равна сумме внутригрупповой и межгрупповой дисперсий
.
Пример 6.
Даны групповые наблюдения признака X:
xi |
1 |
4 |
4 |
ni |
5 |
3 |
2 |
I II III
xi |
2 |
3 |
4 |
ni |
4 |
5 |
1 |
xi |
1 |
2 |
3 |
ni |
3 |
5 |
2 |
Найти групповые дисперсии, внутригрупповую, межгрупповую и общую дисперсии. Найдем групповые средние и общую среднюю.
Решение.
Найдем групповые дисперсии:
Найдем внутригрупповую дисперсию:
Найдем общую дисперсию:
выполним проверку на основании теоремы: .
Статистическое оценивание параметров распределения по выборке
Основная задача математической статистики состоит в нахождении по данным выборки закона распределения случайной величины X. Часто вид распределения по теоретическим исследованиям известен, и задача сводится к оценке неизвестных параметров распределения. Пусть — неизвестный параметр теоретического распределения, а
— статистическая оценка этого параметра, определяемая по данным наблюдениям
, тогда
.
Всякую однозначно определяемую функцию результатов наблюдений, с помощью которой судят о значении параметра
теоретического распределения называют статистической оценкой или статистикой параметра
.
Для того чтобы статистика давала хорошее приближение к оцениваемому параметру
, она должна быть несмещенной, эффективной и состоятельной.
Статистическую оценку неизвестного параметра теоретического распределения называют несмещенной, если математическое ожидание оценки равно оцениваемому параметру и смещенной, если .
Несмещенная оценка неизвестного параметра теоретического распределения называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию среди всех несмещенных оценок параметра , вычисленных по выборке одного и того же объема n.
Если оценка несмещенная, то
есть дисперсия
этой оценки. Эффективность оценки
определяется соотношением