Многочлены над полем действительных чисел

f(x)- приводим в С.

Т. о. любой мн-н ст n>1 приводим над полем С.

Предложение: канонич. разл-ие мн-на ст. n имеет вид: , где с1, с2, ….,сm — попарно различные комплексные числа.

Следствие1: Мн-н f(x) cт. f(x)=n имеет ровно n корней, считая каждый корень столько раз, какова его кратность.

Многочлены над полем действительных чисел.

Пусть R[x]- кольцо мн-ов над полем действ. чисел R.

Напомним что, а+bi., наз. мнимым, если b0.

Если z=a+bi, то a-bi наз. комплексным сопряженным числом числу z. Обозн. =a-bi

Св-ва сопряженных компл. чисел.:

1) ;

2) =

3) если d , то d

4)

Предл.1: если f(x) мн-н из кольца R[x], Z – произв. компл. число, то

Док: Пусть

Теорема: Пусть f(x)-произв. мн-н кольца R[x]. Если a+bi мнимый корень многочлена f(x), то число a-bi также является корнем многочлена f(x).

Док-во: Т. к. a+bi – корень f(x) , то по опр. корня f(a+bi)=0 , тогда по предл.1, корень f(x) .

Неприводимые над полем действительных чисел мн-ны.

Теорема1 : f(x)-многочлен, ст. которого больше 1 , неприведен. над полем действ. чисел R. Тогда .

Док: По осн. Т алгебры многочлен f(x) имеет хотя бы один комплексный корень a+bi, где b≠0

Дей-но, в противном случае а – корень f(x)=> и поск-ку ст., то это против-ит непривод. мн-на над полем R => b≠0

По Теореме(см выше) => — тоже корень f(x) =>по след. из Т Безу , . Тогда дел. на . При этом и — неприв. над R (т. к. не имеет действ. корней). Но неприв. над R, след-но и ассоциированы.

Следствие1: В кольце R непривод. мн-ны только 1 ой и 2 ой степени, ассоциированные с многочленами вида.., где a и b – действит. числа и b≠0

Теорема2: мн-н f(x) положит. степени из кольца R можно единственным образом представить в виде: – не имеет действ. корней, т. е.

Следствие1: мн-н с действит. коэффициентами имеет четное число мнимых корней.

Следствие2: Мн-н нечетной степени с действит. коэффициентами имеет хотя бы один действит. корень.

Вопрос10. Корни многочлена. Отыскание целых и рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами.

Пусть Q[x] – кольцо мн-ов одной пер-ой х над полем рац. чисел Q

Опр. Эл-т с наз. корнем мног-на f(x), если f(c)=0.

Легко увидеть что отыскание рац. корней мн-на f(х)Q[x] сводится к отысканию рац корней мн-на с целыми коэф. Действительно наряду с многочленом f(х) можем рассматривать мног сf(х) где с — общий знамен всех коэф f(x). сf(х)- мног с целыми коэф. Не трудно убедиться что корни мног-ов f(х) и cf(х) совпадают f(a)=0 ó cf(а)=0 В дальнейшем при реш вопроса вычисления рац корней мы можем рассм многочлены с целыми коэф. Способ отыскания рац корней целыми коэф будет получен после доказания след теоремы.

Т1.Если рац число p/q, где p и q — взаимно простые целые числа является корнем мног f(x) с целыми коэф, то р — делитель свободного члена (), а q — делитель старшего коэф().

Док-во: Пусть

aZ i=0,1,2,…n p/q — корень, (р, q)=1 р, qZ an≠0.

p/q — корень =>f(p/q)=0 =>

f(p/q)=a(p/q)+…+a(p/q)+a=0*q

ap+…+apq+aq=0 (*)

-ap= apq+…+apq+aq

все члены кроме справа делятся на q, а след-но по св-ву делимости и ap:q, по усл (p, q)=1 =>(p,q)=1=> a:q старший коэф делится на q. Аналогично все слагаемые в левой части (*) делятся с 1 до последнего на р => и aq:p т. е. свободный член f(х) делится на р.

Док-ая теорема дает способ отыскания рац корней с цел коэф: 1) надо сначала найти все целые делители своб члена а0: p1, p2,…, pk; 2) все целые делители q старшего коэф an: q1, q2,…, qt, 3) затем сост дроби вида pi/qj, 4) необязательно все получившиеся числа вида pi/qj корни многочлена f(x), но все рац корни f(x) среди этих чисел. Вычисляя значение f(pi/qj) для всех этих чисел мы узнаем какие из них корни f(x), а какие нет.

Сл1.Целый корень мн-на f(x) с целыми коэф явл-ся делителем свободного члена мног f(х).

Док-во: Пусть с — целый корень f(х) с=с/1 =>(по Т1) с — делитель свободного члена.

Сл2.Рац. корень нормализ-го мн-на с целыми коэф. явл. целым числом.

Док-во: Пусть p/q — рац корень f(х) с целыми коэф и со старшим коэф равным 1 тогда по т1 q делитель старшего коэф () т. е. 1:q => q=1 => p/qZ

Вычисление выполняемое описанным выше способом, могут быть трудоемкими из-за большого кол-ва возможных чисел p/q подлежащих испытанию, эти вычисления можно сократить если воспользоваться теоремой2.

Теорема2. если рац число p/q (p, q)=1 p, qZ явл корнем f(х) с целыми коэф, то для любого =>

(1)

Док-во: умножим обе части рав-ва (1) на qn.

(2)

(3)

В рав-ве (2) положим x=p/q

В рав-ве (2) положим x=m. Тогда

ЧТД

Замечание: Используя т2 удобно в качестве m брать 1 или -1 т. к. легко вычислить знач f(1) и f(-1), f(1):(p-q) и f(-1):(p+q) если p/q — корень f(x)

Пример: найти рац. корни мн-на

Дел-ли р своб. члена 2: ; дел=ли q старш. коэф.3:. След=но, рац. корни мн-на надо искать среди чисел .

f(1)=6, f(-1)=121 и -1 не явл-ся корнями f(x). Для сокращения числа испытаний составим числа и . Если – корень f(x), то оба этих числа д. б. целыми (Ц). Рез-ты запишем в таблице:

Испытанию по схеме Горнера подлежат числа 2, -2,

	3	-2	4	-1	2
2	3	4	12	23	48
-2	3	-8	20	-41	84
	3	1	Наташа Автор Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку. Распродажа дипломных  Скидка 30% по промокоду Diplom2020 Подпишись на наш паблик в ВК  Получи промокод на скидку 20% Нужна работа? Контрольные работы у наших партнеров