Решение задач по математике | Методичка по решению задач тфкп 2015

Настоящее пособие предназначено для студентов, изучающих курс теории функций комплексного переменного и работающих в системе «Ритм». Оно содержит к модулю 15 – «Функции комплексного переменного». Самостоятельное выполнение этих заданий послужит закреплению у студентов умения решать задачи по функциям комплексного переменного и использовать теорию функций комплексного переменного в прикладных вопросах высшей математики.

Теоретические сведения по данному разделу курса высшей математики см. в работах [1,2,3]. Методика решения задач с помощью теории функций комплексного переменного изложена в работах [3,4].

ОБЩИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Комплексные числа

Выражение вида z=x+i×y , где x и y – действительные числа, а i— –символ, который называется мнимой единицей, причем i2=-1, называется комплексным числом.

Иногда комплексным числом называют всевозможные упорядо-ченные пары z=(x,y) действительных чисел, для которых следующим образом введены операции сложения:

z1+z2=(x1+x2)+i×(y1+y2)

и умножения: z1×z2=(x1×x2—y1×y2)+i×(x1×y2+x2×y1).

Действительные числа x и y называются действительной и мнимой частями комплексного числа z и обозначаются символами x=Re(z) , y=Im(z).

Два комплексных числа z1 = x1+i×y1 и z2 = x2+i×y2 называются равными в том и только том случае, когда x1 = x2 и y1 = y2.

Выражение вида z=x+i×y называется алгебраической формой комплексного числа.

Операции сложения и умножения комплексных чисел обладают следующими свойствами:

а) z1+ z2 = z2+ z1 –коммутативность сложения;

б) (z1+z2)+z3= z1+(z2+z3)-ассоциативность сложения;

в) z1 × z2 = z2 × z1 — коммутативность умножения;

г) (z1 × z2) × z3 = z1 × (z2 × z3) — ассоциативность умножения;

д) z1 × (z2+z3) = z1 × z2 +z1 × z3 — закон дистрибутивности.

Выражение `z=x—i×y называется сопряженным комплексным чис-лом для числа z=x+i×y. Произведение `z×z=(x—i×y)×(x+i×y)=x2+y2 — действительное число.

Если z2¹0, то операция деления двух комплексных чисел опре-деляется формулой

Произведение n равных чисел z называется n–й степенью числа z и обозначается символом z n.

Обратная операция – извлечение корня – определяется следую-щим образом: число w называется корнем n–й степени из числа z, если w n = z. Обозначается символом w= . Отметим, что для всякого z ¹ 0 корень имеет n различных значений.

Рассмотрим плоскость декартовых координат xOy и условимся изображать комплексное число z=x+i×y точкой с координатами (x,y). При этом действительные числа будут изображаться точками оси x (которую будем называть действительной осью), чисто мнимые — точками оси y (называемой мнимой осью). Соответствие между множеством всех комплексных чисел и всех точек плоскости взаим-нооднозначно.

Далее, каждой точке (x,y) соответствует вполне определенный вектор — радиус-вектор этой точки, а каждому радиусу-вектору, лежа-щему в плоскости, — вполне определенная точка — его конец (рис.1). Поэтому комплексные числа удобно представлять так же в виде радиусов-векторов на плоскости. Из рис.1 ясен геометрический смысл операций сложения и вычитания комплексных чисел: сумма и разность комплексных чисел z1 и z2 изображаются соответственно векторами, равными направленным диагоналям параллелограмма, построенного на векторах z1 и z2.

Рис.1. Изображение комплексных чисел точками и векторами

Наряду с представлением комплексных чисел в декартовых ко-ординатах, полезно иметь их представление в полярных координатах. Для этого совместим полярную ось с положительной полуосью x, а полюс — с началом координат; тогда, если обозначить через r поляр-ный радиус и через j полярный угол точки z (рис.1), то будем иметь

z =x+i×y=r×(Cosj +i× Sinj ).

Такая запись комплексного числа называется его тригонометрической формой. Полярный радиус r называется модулем комплекс-ного числа z и обозначается символом ½z½, угол j — его аргументом и обозначается символом Arg z. В то время как модуль комплексного числа определяется однозначно: ½z½=³0 (в данном случае – обозначает арифметический корень из действительного числа, а – множество корней n –й степени из комплексного числа), a аргумент определяется лишь с точностью до любого слагаемого кратного 2p. Из множества значений аргументов для z выделяется главное значение, которое обозначается аrg z. По определению это угол, удовлетворяющий условию — p< j = аrg z £ p. Он может быть определен из условия:

j = аrg z = , если М(х, у) Î I, IU четверти,

j = аrg z = p + , если М(х, у) Î II четверти,

j = аrg z = -p + , если М(х, у) Î III четверти.

Произведение двух комплексных чисел, записанных в тригоно-метрической форме, принимает вид

z1× z2 = r1× r2[(Cosj1×Cosj2 –Sinj1×Sinj2+i×(Sinj1×Cosj2+Sinj2×Cosj1)]=

= r1× r2[Cos(j1+j2) +i×Sin(j1+j2) ].

Если комплексное число z записано в тригонометрической фор-ме, то при целом положительном n вытекает следующая формула:

— называемая формулой Муавра.

Извлечение корня n—й степени из комплексного числа z, записанного в тригонометрической форме, примет вид

.

Задавая к=0, 1, 2,…, n—1, мы получим n различных значений корня, так как увеличение к на единицу влечет за собой увеличение аргумента на (2p¤n).

Таким образом, извлечение корня n—й степени из комплексного числа z всегда возможно и дает n различных значений. Все значения корня n—й степени расположены на окружности радиуса с цент-ром в нуле и делят эту окружность на n равных частей.

Показательная функция для любого комплексного числа z=x+iy определяется соотношением:

ez = .

Полагая x = 0, y = j, получим классическую формулу Эйлера:

.

С помощью формулы Эйлера любое комплексное число z с мо-дулем r и аргументом j можно записать в следующей показательной форме: .

Функции комплексного переменного

Говорят, что на множестве М точек плоскости Z задана функция w=f(z), если указан закон по которому каждой точке z из М ставится в соответствие точка или совокупность точек w. В первом случае функция f(z) называется однозначной, во втором – многозначной. Если положить z=x+iy и w=u+iv, то задание функции комплексного переменного w=f(z) будет равносильным заданию двух функций двух действительных переменных: u=u(x,y), v=v(x,y).

Говорят, что существует предел функции f(z) при z®z0 (обозначается): если существуют пределы

при этом:

В частности, имеем:

Определение: Функция f(z) называется непрерывной в точке z0, если она определена в некоторой окрестности точки z0 (включая саму точку z0) и

Очевидно, что для непрерывности f(z) в точке z0 необходимо и достаточно, чтобы функции и(х, у) и v(х, у) были непрерывны в точке (х0,у0). Функция f(z) называется непрерывной в области D, если она непрерывна в каждой точке этой области.

Будем говорить, что функция f(z) дифференцируема в точке z, если существует предел

Этот предел будем называть производной функции f(z) в точке z.

Условия дифференцируемости функции f(z) в терминах действительных функций и(х, у) и v(х, у) выражает следующая теорема.

Теорема. Пусть функция f(z)=и(х, у)+i×v(х, у) определена в некоторой окрестности точки z, причем в этой точке функции и(х, у) и v(х, у) дифференцируемы. Тогда для дифференцируемости функции f(z) в точке z необходимо и достаточно, чтобы в этой точке имели место соотношения:

(*)

(условия Коши — Римана).

Условия Коши – Римана функции, заданной в полярных координатах f(z)=u(r,j)+i×v(r,j), имеют вид , а производная ее вычисляется по формуле Если функция j(х, у) имеет непрерывные частные производные первых двух порядков и удовлетворяет условию , то ее называют гармонической функцией. По любой гармонической функции j(х, у) можно построить аналитическую функцию, действительная (мнимая) часть которой совпадает с заданной функцией. При этом,

если u(х, у)=j(х, у), то

a если v(х, у)=j(х, у), то

Элементарные функции

Показательная функция комплексного переменного z=x+iy

вычисляется по формуле ez=ex+iy=ex(cosy+i×siny). Она имеет основной период 2pi: ez+2pki =ez, k=0,+1,+2,….

Тригонометрические функции выражаются через показательную:

Гиперболические функции определяются равенствами:

Логарифмическая функция вычисляется по формуле:

Lnz=ln|z|+i(argz+2pk), k=0,+1,+2,….

Значение логарифмической функции при k=0 называется главным и обозначается lnz=ln|z|+i×argz.

Обратные тригонометрические функции выражаются через логарифмическую функцию:

Значения, соответствующие главному значению логарифма, называются главными значениями обратных тригонометрических функций и обозначаются arcsin z, arcos z, arctg z, arcctg z.

Общая степенная функция определяется равенством

za=eaLnz, где а – постоянная.

Общая показательная функция определяется равенством az=ezLna, где а – постоянная.

Кривая на комплексной плоскости может задаваться уравнением вида z=x(t)+iy(t), где t — параметр, а ее параметрические уравнения: x=x(t), y=y(t).

Например: Окружность с центром в точке z0=x0+iy0 радиуса R может быть задана в разной форме: 1) |z—z0|=R; 2) z=z0+Reit, 0£t£2p; 3) x=x0+Rcost, y=y0+Rsint; 4) (x—x0)2+(y—y0)2=R2.

Теорема Коши. Если функция f(z) аналитична в односвязной области D, то для всех кривых С, лежащих в этой области и имеющих общие концы, интеграл имеет одно и то же значение.

Теорема. Если функция f(z) аналитична в односвязной области D, то ее интеграл вдоль любого замкнутого контура С лежащего в D, равен нулю

Теорема Коши для многосвязной области. Если D –конечная п-связная область, границей которой служит п попарно непересекающихся кусочно-гладких кривых С1, С2,…, Сп, и если функция f(z) аналитична в замкнутой области`D, то

(1)

где Сп –внешний контур, а обход всех кривых Сk (k=1,2,…,n) производится в одном направлении.

Пусть функция f(z) аналитична в п-связной области D и непрерывна в замкнутой области`D. Тогда для любой внутренней точки z этой области имеет место интегральная формула Коши:

(2)

где С – граница области D, проходимая так, что область D остается все время слева.

Имеет место следующее равенство:

(3)

где контур С при интегрировании обходится один раз против часовой стрелки

Теорема. Если функция f(z) аналитична в области D и непрерывна в замкнутой области`D, то она обладает в каждой точке области D производными всех порядков, причем п-я производная представляется формулой

(4)

где С – граница области D.

Представление аналитических функций рядами

Всякая аналитическая в круге |z—z0|<R функция f(z) представляется в нем сходящимся рядом Тейлора , где

. (5)

Интегрирование ведется против часовой стрелки.

Теорема Лорана. В любом кольце К: r<|z-а|<R, где r³0, R£¥, в котором аналитична функция f(z), эта функция может быть представлена своим рядом Лорана , равномерно сходящимся в любой замкнутой области, принадлежащей кольцу К.

Особые точки

Определение. Точка а называется изолированной особой точкой функции f(z), если существует окрестность 0<|z—a|<R этой точки ( с исключенной точкой а), в которой f(z) аналитична. Подчеркнем, что здесь речь идет о точках, в окрестности которых функция однозначна.

Различают три типа изолированных особых точек в зависимости от поведения функции f(z) в их окрестности:

1) Точка а называется устранимой особой точкой, если существует конечный предел .

2) Точка а называется полюсом, если f(z) является бесконечно большой при приближении к а, то есть если существует (это означает, что | f(z) |®¥ при z®¥).

1) Точка а называется существенно особой точкой, если предел не существует.

Теорема 1. Для того, чтобы точка а была устранимой особой точкой функции f(z), необходимо и достаточно, чтобы лорановское разложение функции f(z) в окрестности точки а не содержало главной части.

Теорема 2. Для того, чтобы точка а была полюсом функции f(z), необходимо и достаточно, чтобы главная часть лорановского разложения функции f(z) в окрестности точки а содержала лишь конечное число членов.

При этом номер старшего отрицательного члена разложения совпадает с порядком полюса.

Теорема 3. Точка а тогда и только тогда является существенно особой для функции f(z), когда главная часть лорановского разложения функции f(z) в окрестности точки а содержит бесконечное число членов.

Вычеты

Определение. Вычетом функции f(z) в изолированной особой точке а (обозначается resf(a)) называется число где g достаточно малая окружность |z—a|=r, проходимая в положительном направлении.

Из формул для коэффициентов ряда Лорана при п=-1 непосредственно вытекает, что

(6)

т. е. вычет функции f(z) в особой точке а равен коэффициенту при минус первой степени в лорановском разложении функции f(z) в окрестности точки а. Отсюда следует, что в устранимой особой точке вычет функции всегда равен нулю.

Нахождение вычета в полюсе порядка п облегчает следующая формула:

(7)

Для полюсов первого порядка формула (7) принимает особенно простой вид:

(8)

Если в окрестности точки а определена как частное двух аналитических в этой точке функций: причем j(а)¹0, а y(z) имеет в а нуль первого порядка (т. е. y(а)=0, а y(a)¢¹0), то формулу (7) можно заменить следующей формулой:

(9)

Теорема Коши (для вычетов). Пусть функция f(z) непрерывна на границе С области D и аналитична внутри этой области всюду, кроме конечного числа особых точек а1, а2,…, ап. Тогда, если С обходится

в положительном направлении, то

(10)

ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ

Пример 1: Вычислить, если z1=2-i, z2=1+3i.

Решение: Так как`z1=2+i, то

Пример 2: Вычислить

Решение: Запишем данное число в тригонометрической форме, для этого найдем и .

Тогда

Пример 3: Найти все значения корня

Решение: Запишем данное число в тригонометрической форме, для этого найдем

и .

Следовательно

Пример 4: Изобразить на чертеже область, заданную неравенствами (z = x+iy) |z-2i|£3, £argz £.

Решение: Область, заданная неравенством |z-2i|£3 представляет собой круг радиуса 3 с центром в точке М(0;2). А область, заданная неравенствами £ argz £ представляет собой бесконечный сектор, ограниченный двумя лучами, исходящими из начала координат. Следовательно, искомая область – есть пересечение двух областей, т. е.

Пример 5: Проверить выполняются ли условия аналитичности функции w=(z+2)Rez.

Решение: w=(z+2)Rez=(x+iy+2)x=(x2+2x)+ixy, следовательно: u=x2+2x, v=xy,

Условия Коши — Римана не выполняются ни в одной точке, следовательно, данная функция нигде не аналитична.

Пример 6: Восстановить аналитическую функцию f(z) по известной действительной u(x,y)= ех(x×cosy—y×siny) части и значению f(0)=0.

Решение: Проверим, является ли функция u(x,y) гармонической, т. е. проверим выполнение условия .

u’x(x, y)= ех(x×cosy-y×siny+cosy), ;

u’y(x, y)= ех(-x×siny-y×cosy-siny), .

Данная функция является гармонической, следовательно,

Имеем, что f(z)= ех(x×cosy—y×siny)+i× ех(y×cosy-x×siny)+C. Так как f(0)=0, то С=0. Следовательно, f(z)= ех(x×cosy—y×siny)+i× ех(y×cosy-x×siny).

Пример 7: Вычислить интеграл , где С – отрезок соединяющий точки z=0 и z=1+i.

Решение: zRez=(x+iy)x=x2+ixy тогда u=x2, v=xy и согласно формуле (3) будем иметь

так как уравнение отрезка прямой, соединяющего точки z=0 и z=1+i имеет вид у=х, то будем иметь

Пример 8: Вычислить интеграл , где С –верхняя часть окружности |z|=3, а интегрирование ведется от точки z=3 до точки z=-3.

Решение: Уравнение верхней части окружности |z|=3, где Imz>0 запишем в показательной форме z=3eij=3cosj+i3sinj, Imz=3sinj, dz=3ieijdj, 0<j<p. Тогда

Пример 9: Вычислить интеграл

Решение: Внутри круга |z-1|£1,5 лежат точки z=1 и z=2, в которых функция терпит разрыв. Окружим точки z=1 и z=2

замкнутыми непересекающимися

окружностями С1 и С2, лежащими

внутри окружности |z-1|=1,5. По тео-

реме Коши для многосвязной облас-

ти (см.(рис.1) имеем

Применяя к первому интегралу формулу (4) дифференцирования, а ко второму – интегральную формулу Коши (2), получим

Пример 10: Найти все лорановские разложения функции

по степеням (z—1).

Решение: Функция f(z) имеет две особые точки z1=2 и z2=-2. Имеется три круговых области с центром в точке z0=1 :

1) круг: |z—1|<1; 2) кольцо: 1<|z—1|<3; 3) 3<|z—1|<¥

Рассмотрим последовательно

все эти области.

1) круг: |z—1|<1.

Первый способ:

Найдем коэффициенты ряда

Лорана по формуле (3):

Итак, для функции f(z) получили ряд Тейлора

в круге |z—1|<1.

Второй способ: Представим функцию f(z) в виде

и воспользуемся суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии

2) кольцо: 1<|z—1|<3

Первый способ:

Первый интеграл мы вычислили и он равен если п=0,1,2,…, и равен 0, если п=-1,-2,-3,…

Второй интеграл по интегральной формуле Ко-

ши будет равен

при п=0,±1,±2,… Тогда будем иметь

Поэтому при 1<|z-1|<3.

Второй способ:

Представим функцию f(z) в виде

и воспользуемся суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии

3) 3<|z—1|<¥ Для бесконечного кольца решим задачу вторым способом:

Представим функцию f(z) в виде

и воспользуемся суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Хотя последний ряд имеет бесконечное число членов, содержащих (z-1) в отрицательной степени, для функции f(z) точка z=1 не является особой. Так как в разложении функции f(z) в окрестности точки z=1 (в круге |z-1|<1) присутствуют только члены (z-1) в положительных степенях. Главная часть отсутствует, поэтому точка z=1 не является особой для функции .

Пример 11: Для функции определить тип особых точек и вычислить вычеты в изолированных особых точках.

Решение: z=0 – особая точка для данной функции. Разложим функцию по степеням z:

Так как главная часть в разложении функции в ряд Лорана в окрестности точки z=0 отсутствует, то эта точка является устранимой особой точкой и поэтому вычет в ней равен нулю.

Точка z=¥ является существенно особой точкой для этой функции, так как разложение этой функции в окрестности бесконечно удаленной точки содержит бесконечное число членов главной части ряда Лорана а вычет так же будет равен нулю так как отсутствует коэффициент с-1.

Пример 12: Для функции определить тип особых точек и вычислить вычеты в изолированных особых точках.

Решение: z=0 – особая точка для данной функции. Разложим функцию по степеням z:

Так как в главной части в разложении функции в ряд Лорана в окрестности точки z=0 имеем бесконечное число членов, то эта точка является существенно особой точкой, а вычет в ней равен 1, так как член z-1 имеет коэффициент равный 1.

Точка z=¥ является устранимой особой точкой для этой функции, так как разложение этой функции в окрестности бесконечно удаленной точки не содержит главной части ряда Лорана, а вычет будет равен нулю так как отсутствует коэффициент с-1.

Пример 13: Вычислить интеграл при помощи вычетов.

Решение: z=0, z=-3/2 – полюсы второго порядка для функции , лежащие внутри окружности |z|=2. Согласно основной теореме о вычетах (см. формулу (7)) имеем:

ПРИМЕНЕНИЕ ЭВМ

Для упрощения вычислений удобно использовать существующие программные продукты с использованием персональных компьютеров. Рассмотрим решение некоторых примеров с использованием программного продукта Мathcad.

Пример 1: Вычислить, если z1=2-i, z2=1+3i.

Решение: Для ввода мнимой единицы Вслед за ее модулем необходимо ввести символ мнимой единицы i.

Документ Мathcad для данного примера имеет вид:

z1:=2-i z2:=1+3×i z3:=2+i f(z):=

f(z)= -1-2×i

Пример 2: Найти все значения корня

Решение: При вычислении корней п степени из комплексного числа Мathcad дает только один корень с наименьшим значением аргумента, поэтому в данном случае будем иметь

1,392-1,168×i

Однако функция polyroots позволяет находить все корни из комплексного числа. Решая данную задачу, как задачу нахождения корней полинома третьей степени с комплексными коэффициентами

z3+0×z2+0×z+3+i×3×=0, найдем все корни. Для этого необходимо образовать вектор коэффициентов полинома, первая координата которого совпадает со свободным членом. При этом документ Мathcad будет иметь вид:

Пример 3: Восстановить аналитическую функцию f(z) по известной действительной u(x,y)= ех(x×cosy—y×siny) части и значению f(0)=0.

Решение: Проверим, является ли функция u(x,y) гармонической, т. е. проверим выполнение условия . Для этого воспользуемся программным продуктом Мathcad:

u(x, y)= ех(x×cosy-y×siny)

Так как

то u(x,y) является гармонической функцией. Пусть х0=0 у0=0. Тогда документ Мathcad будет иметь вид:

Следовательно, f(z)= ех(x×cosy—y×siny)+i× ех(y×cosy-x×siny).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М. “Наука” 1983.

2. Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. – М.: Наука, 1981 г.

3. Данко П. Е., Попов А. Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть III. М.: Высшая школа, 1971 г.

4. Элементы ТФКП. Дифференцирование. Интегрирование. Методические указания для студентов дистанционной формы обучения / Курск 2001 г.