Метод замены переменной

Метод замены переменной

Пусть функция у = f(х) непрерывна на отрезке [a, b], а функция x=φ(t), определена на отрезке [α, β] и имеют на нем непрерывную производную, причем φ (α) = а, φ (β) = b и для всех . Тогда

Метод интегрирования по частям

Если функции u = u(x), v = v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a, b], то справедлива формула

Доказательство.

Поскольку функция u(x)v(x) – первообразная для функции u’(x)v(x) + u(x)v’(x), то

откуда и следует формула которую можно записать в виде

57.Площадь плоской фигуры. Объем тела вращения.

площадь S криволинейной трапеции abAB, ограниченной кривой y=f(x), f(x)0

осью Ox и двумя прямыми x=a x=b, вычисляется по формуле

Если плоская фигура ABCD ограничена прямыми x=a, x=b(a<b) и кривыми y=f(x) y=φ(x), причем φ(x)≤ f(x), a≤x≤b, то ее площадь вычисляется по формуле

Объем тела, образованного вращением кривой y = f(x), ограниченной прямыми х = а, x = b при a < x < b вокруг оси Ох, вычисляется по формуле:

Объем тела, образованного вашей кривой у = φ(у), ограниченной прямыми y = c, y = d при c < y < d вокруг оси Oy, вычисляется по формуле:

58 Интегралы с бесконечными пределами:

Пусть ф-ия непрерывна при любом .Рассмотрим интеграл с переменным верхним пределом

(1)

Интеграл (1)является дифференцируемой ф-уй верхнего предела. Предположим, что при ф-ия (1)имеет конечный предел ;этот предел называется сходящимся несобственным интегралом от ф-ии по промежутку и обозначается

(2)

Если предел (2) не существует или равен бесконечности, то несобственный интеграл называется расходящимся.

р.1 р.2

Геометрически несобственный интеграл от неотрицательной ф-ии выражает площадь бесконечной криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком ф-ии , слева – отрезком прямой ,снизу — осью OX (р.1) ( в случае сходящегося интеграла эта площадь является конечной, в случае расходящегося — бесконечной).

Если первообразная для, то

(3)

Где. (4)

Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечными пределами

(5)

Где с-любая точка из интервала

Приведем без доказательства две теоремы, с их помощью можно исследовать вопрос о сходимости некоторых несобственных интегралов.

Теорема 1

Если при выполнены неравенства и сходится, то сходится и , причем ;если расходится, то расходится .

Геометрическое значение этой теоремы иллюстрируется на р.2

Теорема 2

Если в промежутке ф-ия меняет знак и сходится, то сходится также . .