Математический тренинг

1. Определение первообразной функции.

2. Определение неопределённого интеграла.

3. Свойства неопределённого интеграла.

4. Таблица неопределённых интегралов. Непосредственное интегрирование.

5. Как выполнить проверку правильности нахождения неопределённого интеграла.

6. Определение определённого интеграла.

7. Свойства определённого интеграла.

8. Формула Ньютона-Лейбница.

9. Правило нахождения определённого интеграла.

10. Метод подстановки в неопределённом интеграле.

11. Метод подстановки в определённом интеграле.

12. Формула интегрирования по частям в неопределённом и определённом интегралах.

13. Геометрический смысл определённого интеграла.

14. Геометрические приложения определённого интеграла. Вычисление площади фигуры с помощью определённого интеграла.

15. Вычисление пути, пройденного телом при неравномерном движении за промежуток времени от t1 до t2.

16. Вычисление работы, выполняемой переменной силой F=F(х), зависящей от перемещения х.

Опорный конспект по теме «Дифференциальные уравнения»

Контрольные вопросы

1. Дифференциальные уравнения. Основные понятия и определения. Общее и частное решения дифференциального уравнения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

3. Простейшие дифференциальные уравнения второго порядка.

4. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Приложение 5

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ТРЕНИНГ

Тема 1. Элементы линейной алгебры

1. Найти детерминант матрицы

2. Найти произведение матриц:

3. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера

4. Решить матричное уравнение:

5. Упростить определитель и вычислить его по теореме Лапласа:

6. Решить матричное уравнение:

7. Решить СЛАУ методом обратной матрицы:

8. Решить СЛАУ методом Гаусса:

9. Определить ранг матрицы:

10. Решить систему уравнений матричным способом:

11. Решить систему линейных однородных уравнений. Указать одно конкретное целочисленное решение. Сделать проверку для этого решения.

Тема 2. Элементы аналитической геометрии

12. Определить площадь треугольника, построенного на векторах как на сторонах:

a = (-1;3;-5); b = (4;4;1).

13. При каком t векторы a = (t;1;2); b = (3;5;4); c = (2;1;1) компланарны?

14. Написать уравнение прямой, проходящей через точку (-2;3)

перпендикулярно отрезку AB, если А(1;2), B(3;8).

15. a = (1;3;-2); b = (-3;2;4). Найти координаты вектора с = 3a + b и его длину.

16. На векторах m = (-1;3;-5) и n = (4;4;1) как на сторонах построен

треугольник. Определить его площадь.

17. Дана пирамида с вершинами (6;1;1) , (4;6;6) , (4;2;0) ,

(1;2;6) . Найти объём пирамиды.

18. Составить уравнение плоскости (), если точки имеют координаты

(3;5;4) , (5;8;3) , (1;9;9).

19. Дана пирамида с вершинами (2;4;3) , (7;6;3) , (4;9;3) ,

(3;6;7). Найти расстояние от вершины до грани и

угол между рёбрами и .

20. Найти длину отрезка , если (6;1;1) , (4;6;6).

21. Найти угол между рёбрами и пирамиды

с вершинами (6;1;1) , (4;6;6) , (4;2;0) , (1;2;6) .

Тема 3. Основы математического анализа.

Дифференциальное и интегральное исчисление

22. Найти область определения функции: у = ; у =

23. Исследовать функцию на чётность, нечётность: у =

24. Найти точки разрыва графика функции и определить их характер:

у =

25. Исследовать функцию без применения производной. Найти точки разрыва, асимптоты и построить схематически график функции:

у =

26. Найти предел функции:

27. Найти производную функции

28. Логарифмическое дифференцирование.

Найти производную функции:

29. Найти производную функции, заданной параметрически:

30. Найти производную функции, заданной неявно уравнением:

31. Исследовать функцию на монотонность:

31. Исследовать функцию на экстремум:

32. Исследовать функцию на экстремум по второй производной:

33. Найти точку перегиба графика функции:

34. Исследовать функцию по первой и второй производной и построить

её график:

35. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

на отрезке .

36. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

на отрезке .

37. Составить уравнение касательной к графику функции

в точке с абсциссой .

38. Тело движется по закону (м). Найти ускорение

движения тела в момент остановки движения.

39. Количество электричества, прошедшее через проводник,

задается функцией (Кл). Найти силу тока в проводнике

в конце шестой секунды.

40. Тело движется по закону (м). Найти максимальную скорость тела и момент времени, когда она будет достигнута.

41. Тело движется по закону (м). Найти скорость

движения тела в тот момент, когда ускорение равно нулю.

42. Для функции f(x) = x2 + 7x + 3 найти приращение и

дифференциал в точке х = 3 при ∆x = 0,1.

43. Найти неопределенный интеграл:

44. Непосредственное интегрирование:

45. Метод подстановки в неопределённом интеграле:

46. Метод интегрирования по частям:

47. Вычислить определённый интеграл:

48. Метод подстановки в определённом интеграле:

49. Метод интегрирования по частям в определённом интеграле:

50. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

и и

51. Скорость тела . Найти путь, пройденный телом от

начала движения до момента остановки.

52. Найти длину пути, пройденного телом за третью секунду после

начала движения, если тело движется со скоростью .

53. Сила в 10 Н растягивает пружину на 3 см. Какую работу она при

этом производит?

54. Найти путь, пройденный телом за вторую секунду, если

скорость задана уравнением .

Тема 4. Дифференциальные уравнения

55. Найти частное решение дифференциального уравнения

при х=0 и у=4.

56. Найти частное решение дифференциального уравнения

при х=0 и у=2.

57. Найти частное решение дифференциального уравнения

, если , .

58. Найти частное решение дифференциального уравнения

, если , .

59. Найти общее решение дифференциального уравнения