Вузы по математике
Готовые работы по математике
Как писать работы по математике
Примеры решения задач по математике
Решить задачу по математике onlineМатематический анализ контрольная
ВАРИАНТ 4
1. Методом Гаусса решить систему линейных уравнений:
Решение:
Значит система является совместной.
Запишем расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду:
2. Найти предел:
Решение: 
3. Найти производную функции:
Решение:
4. Под посевы элитных культур выделили земельный участок прямоугольной формы площадью 324 м2 и вдоль всей границы окопали рвом. Найти такие длину и ширину участка, при которых стоимость рва является наименьшей.
Решение:
Так как участок прямоугольной формы, то 
. Где х – длина, у – ширина. Стоимость рва зависит от его длины, которая совпадает с периметром участка Р=2(х+у). Выразим из площади у и подставим:
, тогда 
.
Рассмотрим функцию 
и найдем ее минимум:
. Значит 
, тогда 
.
не подходит по условию задачи, значит 
.
Ответ : 
, 
5. Составить уравнения касательных к графику функции 
, перпендикулярных прямой, проходящей через точки (1; 1) и (–1; 0). Сделать чертеж.
Решение:
Составим уравнение прямой
. 
. Значит 
. Тогда у прямых перпендикулярных данной 
.
Так как уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид 
, то 
. Найдем 
. Значит 
,
тогда 
, тогда 
. Тогда 
. Таким образом в двух точках графика касательные перпендикулярны заданной прямой. Составим их уравнения:
и 
График:
6. Исследовать функцию 
и схематично построить ее график.
1) 
2) 
следовательно функция не является четной, нечетной, периодической.
3) 
, 
, решаем данное уравнение получаем 
или 
. Таким образом график функции пересекает ось Х в точках 
и 
4) Асимптот нет
5) 
.Приравниваем 
к нулю.
.
функция возрастает
функция убывает
функция возрастае
6)
.
Точек перегиба нет
7) Cтроим график функции:
Контрольная работа № 2
1. Найти неопределенный интеграл:
Решение: 
Вычислить определенные интегралы:
2. 
Решение:
3. 
Решение:
4. Решить дифференциальное уравнение:
Решение:
. Найдем интегрирующий множитель
. 
, тогда 
,
, тогда 
, 
. Значит
. 
, 
.
Получаем уравнение в полных дифференциалах. Тогда 
. Значит 
, тогда 
, тогда 
, следовательно 
. Тогда 
— общий интеграл.
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
Решение:
Найдем пределы интегрирования:
. Тогда
6. Экспериментальные данные о значениях переменных х и y приведены в таблице:
|
|
4 |
4,5 |
5 |
5,5 |
6 |
|
|
0,8 |
0,5 |
0,2 |
0,4 |
0,9 |
В результате их выравнивания получена функция 
Используя метод наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью 
(найти параметры а и b). Выяснить, какая из двух линий лучше (в смысле метода наименьших квадратов) выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.
Решение:
Коэфициенты линейной зависимости а и b найдем из системы
.
Вычисления проведем в таблице:
|
№№ |
|
|
|
|
|
1 |
4 |
0,8 |
16 |
0,32 |
|
2 |
4,5 |
0,5 |
20,25 |
2,25 |
|
3 |
5 |
0,2 |
25 |
1 |
|
4 |
5,5 |
0,4 |
30,25 |
2,2 |
|
5 |
6 |
0,9 |
36 |
0,63 |
|
Итого |
25 |
2,8 |
127,5 |
14,05 |
|
Среднее |
5 |
0,56 |
25,5 |
2,81 |
Подставляя итоговые числа сумм в уравнения метода наименьших квадратов, получаем алгебраическую систему двух уравнений с двумя неизвестными вида:
Откуда получаем 
, 
. Записываем уравнение линейной регрессии 
.
Выясним, какая из двух линий лучше апроксимирует исходные данные или 
. Для этого вычислим
и 
|
№№ |
|
|
|
|
|
1 |
4 |
0,8 |
0,0676 |
0,04 |
|
2 |
4,5 |
0,5 |
0,0025 |
0,0625 |
|
3 |
5 |
0,2 |
0,1296 |
0,04 |
|
4 |
5,5 |
0,4 |
0,0289 |
0,0225 |
|
5 |
6 |
0,9 |
0,1024 |
0,01 |
|
Итого |
25 |
2,8 |
0,331 |
0,175 |
Так как 
, то функция лучше приближает исходные данные.
7. Найти область сходимости степенного ряда:
Решение:
Тогда при 
ряд сходится.
При х=3 
ряд расходится, так как 
и — есть расходящийся ряд (ряд Дирихле 
, сходится при p>1 и расходится при p<1)
При х=-3 
ряд сходится по признаку Лейбница, так как выполняются условия.
и
Значит R=[-3;3) – радиус сходимости.
Скидка 30% по промокоду Diplom2020
Получи промокод на скидку 20%
