Математические методы в химии

Задачи по части “Анализ, дифуры, теорвер” курса “Математические методы в химии”

1.  Имеются одинаковые объёмы двух хорошо растворяющихся друг в друге жидкостей. Малое (по сравнению с общим объёмом) количество первой жидкости перелили во вторую, раствор тщательно перемешали, после чего ровно такое же получившегося раствора перелили обратно в первую жидкость. Спрашивается чего теперь больше: первой жидкости во втором растворе или второй жидкости в первом получившемся растворе? Замечание: вопрос можно понимать как вопрос о процентном соотношении, так и вопрос об абсолютном объёме, эти вопросы эквивалентны, поскольку после всех переливаний объёмы двух растворов, очевидно, стали одинаковыми.

2.  В нормальных условиях скорость роста концентрации некоторого вещества пропорциональна текущему её значению и отличию концентрации от уровня насыщения A, коэффициент пропорциональности пусть равен 1. То есть, дифференциальное уравнение для концентрации x в зависимости от времени t имеет вид d x/d t = x(t)(A—x(t)) , в начальный момент времени x(0)< A (заметим, что при t → ∞ имеем x(t) → A). Однако, из-за постоянного отвода результатов реакции со скоростью v концентрация x(t) растёт вовсе не так (а при больших v и вовсе начинает падать): дифференциальное уравнение для концентрации на самом деле имеет вид dx/dt = x(t)(A—x(t))-vx(t). Тем не менее, если v будет неизменна, то, в конце концов, всё стабилизируется, концентрация вещества станет практически постоянной. Спрашивается, каким сделать v, чтобы количество нашего вещества в отводимых продуктах реакции в единицу времени (оно вычисляется как произведение v x(t) ) было как можно больше?

Указание: почитайте Арнольда.

3.  Докажите, что для любой строго монотонной (возрастающей или же убывающей) функции f(x) уравнение f(f(x))=x имеет в точности то же множество решений, что и уравнение f(x)=x.

4.  На рисунке представлена часть графика многочлена (в точке 2 он имеет локальный минимум, а 1 и 3 являются его корнями). Может ли степень этого многочлена быть равной двум? А трём?

5.  При каких a выполняется ?

6.  Найти прямоугольник наибольшей площади фиксированного периметра.

7.  Известно, что плотность распределения значения скорости молекулы газа вдоль оси абсцисс vX и вдоль оси ординат vY описываются одним и тем же нормальным распределением с нулевым средним, причём распределения вдоль осей абсцисс и ординат независимы друг от друга, так что плотность совместного распределения скоростей представляет собой функцию от двух аргументов, равную произведению плотностей вдоль осей x и у. Проверьте, что квадрат скорости молекулы v2x + v2y описывается показательным законом. Указание: вычислите вероятность того, что случайная величина, распределённая по показательному закону, примет значение меньше z и сравните с вероятностью того, что наш квадрат будет меньше z. Вычисление последней вероятности сводится к двумерному интегралу, для его вычисления полезна полярная система координат (как с ней работать посмотрите самостоятельно).

8.  Вычислите с помощью определённого интеграла объём конуса с радиусом R и высотой h.

9.  Докажите что минус логарифм равномерно распределённого числа из отрезка [0,1] распределён по показательному закону с матожиданием единица.

10.  Обоснуйте следующий способ генерации на компьютере стандартной нормально распределённой случайной величины: независимо генерируются 12 чисел, равномерно распределённых на отрезке [0,1], затем из их суммы вычитается 6. Почему матожидание полученной случайной величины будет равно нулю, а дисперсия будет равна единице.

11.  Вычислите пятимерный интеграл от функции (1+s)/(5+s+t+x+y+z) по переменным s, t,x, y,z, где каждая переменная меняется от 0 до 1.

12.  В какой точке мы окажемся при минимизации функции 2x2+xy+2y2 +2yz +2z2+22x, если начнём с точки (x,y,z)=(0,0,0) и сделаем пару шагов градиентного спуска.