Линейные операторы

1) f2 2) f2 3) f2

f3 f3 f3

f1 e1 e1

4) g2 5) e2 6) e2 7) e2

f3 f3

e1 e1 e1 e1

Теорема 8

Доказательство:

Сначала докажем от противного, что gi¹0 для любого i.

1)  k=1 g1=f1¹0 — система из одного вектора считается ортогональной.

2)  Пусть e1, e2, …, ek образуют ортогональную систему, тогда gk+1=fk+1-(fk+1,e1)e1-…-(fk+1,ek)ek

3)  Допустим, что gk+1=0, тогда fk+1=(fk+1,e1)e1+…+(fk+1,ek)ek, то есть fk+1 является линейной комбинацией векторов e1, e2, …, ek , которые сами выражаются через f1, f2, …, fk, следовательно, система элементов линейно независима, но это противоречит условию Þ gk+1¹0

(gk+1, ei)=(fk+1, ei)-(fk+1, e1)(e1, ei)-…-(fk+1,ei)(ei, ei)-…(fk+1,ek)(ek, ei)=

=(fk+1, ei)- (fk+1, ei) = 0 Þ

Þ gk+1 ортогонально всем ei Þ ei+1 ортогонально всем ei (i=1¸k)

Пусть есть базис (e1, e2, …, en). Рассмотрим некоторые элементы x и y:

x=x1e1+x2e2+…+xnen

y=y1e1+y2e2+…+xnen

(x, y)=( , )=

Если базис ортонормированный, то (ei, ej)=0 i¹j (ei,ei)=1Þ (x, y)=

Если базис не ортонормированный, то составим матрицу G=((ei,ej)) – квадратная матрица из скалярных произведений базисных векторов. Её называют матрицей Грама. Матрица Грама симметрична, так как скалярное произведение коммутативно. Если базис ортогональный, то матрица Грама диагональна, если базис ортонормированный, то матрица Грама единичная.

В общем случае (x, y)=xTGy

Для ортонормированного базиса: скалярное произведение (x, y)=,

норма ===, косинус угла между двумя ненулевыми векторами cosj=

если x=x1e1+x2e2+…+xnen, то координаты вектора x есть (x1,x2,…,xn)

Лекция 14.

Линейные операторы.

Линейный оператор A: L®L называется линейным преобразованием или говорят, что A действует в L.

Если выполнены условия 1) и 2), то A(lx+my)=A(lx)+A(my)= lA(x) + mA(y).

Принято упрощение записи A(x) º Ax. Непосредственно из определения следует, что

A0=0’, так как A0 = A(0×0) = 0A(0) =0’

Примеры линейных операторов.

1)  A есть умножение на фиксированное число (A¹0) — изоморфизм расширения.

2)  Pn(x) – линейное пространство многочленов, степени не выше n. A — взятие производной. Производная суммы равна сумме производных, и (lf(x))’.

3)  в V2 (пространстве свободных векторов на плоскости) A –поворот на угол j. сумма векторов определяется по параллелограмму. Диагональ тоже повернётся на угол j, с произведением вектора на число всё очевидно.

4)  Параллельный перенос – это преобразование пространства не является линейным оператором, потому, что это преобразование не сохраняет операцию сложения векторов. (рассмотреть на плоскости)

Пусть задан линейный оператор A: L®L, то есть линейное преобразование линейного пространства в себя

b=(b1, b2, …, bn,) — базис в L.

Действие линейного оператора определено, если известны образы векторов базиса:

Ax = A(x1b1+x2b2+…+xnbn)=x1Ab1+x2Ab2+…+xnAbn

То есть, зная Abi (i=1¸n) можно найти образ " вектора x.

Матрица линейного оператора A: L®L является квадратной, её размерность совпадает с размерностью L.

Примеры:

1)  нулевой оператор O

O = — нулевая матрица, соответствующей размерности.

2)  Тождественный оператор I

I= = E -единичная матрица