Линейные и квазилинейные уравнения
t∞ t
-∞
Точка покоя такого вида называется Седлом
Линейные и Квазилинейные уравнения частных производных
Линейные неоднородные уравнения или квазилинейные уравнения первого порядка в частных производных называется уравнение вида:
(
+
(
+
(
= z(
(8.1)
Это уравнение линейное относительно производной но может быть изменено относительно не известной z.
Если правая часть 0 а коэффициент
не зависит от z, то уравнение (8.1) называется линейно однородным
Рассмотрим более подробно квазилинейные уравнения с 2-умя независимыми переменными
P (x, y, z) + Q (x, y, z)
= R (x, y, z) (8.1a)
Функцию P, Q, R будем считать не прерывной в рассматриваемой области изменённой переменой и не обращающейся в ноль одновременно
Рассмотрим непрерывное поле :
= P (x, y, z)
+ Q (x, y, z)
1 + n (x, y, x)
Векторные линии поля, то есть линии, касательно которых в каждой точке имеют направления
=
dx +
dy +
dz,
—
=
Поверхность целиком содержащая векторные линии, или хотя бы одну общую точку с поверхностью называется векторной поверхностью
Векторные поверхности характерны тем, что вектор направлен по нормали к поверхности. В
точке поверхность ортогональна полю
, то есть :
(*
) =0 (8.2)
Если векторная поверхность
+
—
и условие (8.2) принимает вид :
P (x, y, z) * + Q (x, y, z)
= R (x, y, z) (8.3)
Если векторная поверхность задаётся:
U (x, y, z) = 0
+
—
И уравнение (8.2) приобретает вид :
P (x, y, z) * + Q (x, y, z)
+ R (x, y, z)
= (8.4)
Так как векторные поверхности могут быть составлены из векторных линий
То интегрирование уравнения (8.3) или (8.4) сводиться к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений векторных линий
Составим систему дифференциальных уравнений векторных линий :
—
=
(8.5)
Выделяя из 2-ух параметрических семейств векторных линий
Называется характеристиками уравнения (8.3) или (8.4) произвольным способом параметрического семейства
Устанавливая какую – нибудь зависимость Ф () = 0 тогда параллелограмм
и
Исключение из системы :
Ф- произвольная функция (непрерывная)
Найдем интеграл квадратного уравнения (8.3) зависящего от произвольной функции
Если требуется найти не произвольный вектор поверхностного поля
= P (x, y, z)
+ Q (x, y, z)
+ R (x, y, z)
А поверхностный проход через заданную линию определяется уравнением
То функция (8.6) уже не будет произвольной, определяемая присутствием исключенийx, y, z из системы