Линейные ду порядка n

Если решение ДУ n-го пор. удается получить лишь в неявном виде Ф(х, С1, С2,…, Сn)=0, то оно наз. общим интегралом данного ур-ния. Решение ДУ, полученное из общего решения при конкр. значениях С1, С2,…, Сn наз. частным решением. Рассмотрим типы ур-ний, допускающих понижение порядка: 1. у(n)=f(х); 2. F(x, y(k), y(k+1),…, y(n))=0; z=y(k), z¢=y(k+1),…, z(n-k)=y(n);F(x, z, z¢,…, z(n-k))=0; 3. F(x, y¢,…, y(n))=0; P(y)=y¢.

Линейные ДУ порядка n.

Ур-ние вида a0(x)y(n)+a1(x)y(n-1)+…+an(x)y=f(x) (1) наз. ЛДУ порядка n. {/ a0(x)¹0}

y(n)+р1(x)y(n-1)+…+рn(x)y=q(x) (2). Если q(x)º0 "хÎ(a, b), то такое ур-ние наз. однородным линейным ДУ, иначе неоднородным.

ЛОДУ порядка n.

y(n)+р1(x)y(n-1)+…+рn(x)y=0 (3). L[y]=[+ р1(x)+…+рn(x)]y; L[y]=0;

L – линейный оператор, определенный на векторном прост-ве ф-ции у(х), непрерывной на (a, b) вместе со своими производными до порядка n включительно. 1) L[C y]=C L[y], C=const; 2) L[y1+y2]=L[y1]+L[y2].

Т1: если ф-ция y0(х) явл. решением ЛОДУ L[y]=0, то Сy0(х) также явл. решением этого ур-ния. Док-во: L[y0]º0, L[Cy0]=CL[y0]º0 ч. т.д.

Т2: если ф-ции y1(х) и y2(х) явл. решениями ЛОДУ порядка n, то y1(х)+y2(х) тоже явл. решением этого ур-ния.

Следствие из Т1 и Т2: если y1(х), y2(х),…, ym(х) явл. решениями L[y]=0, то С1y1(х)+С2y2(х)+…+Сmym(х), где С – конст., тоже явл. решением.

у(х)º0 "хÎ(a, b) – решение L[y]=0. Мн-во всех решений L[y]=0 образует линейное прост-во, нулем которого явл. ф-ция у(х)º0.

Т3: если ЛОДУ L[y]=0 с действит. коэф-ми рk(х), где k=1,…, n, имеет комплексное решение y(x)=u(x)+iv(x), то действит. часть u(x) и мнимая часть iv(x) тоже явл. решениями L[y]=0. Док-во: y(x)=u(x)+iv(x) – решение => L[u+iv]º0, L[u+iv]=L[u]+iL[v] => L[u]=0 и L[v]=0 ч. т.д.

8. Линейно зависимые и линейно независимые системы функций. Необходимое условие линейной зависимости функций. Критерий линейной независимости частных решений линейного однородного дифференциального уравнения.

Линейно зависимые и лин. независимые с-мы ф-ций.

С-ма ф-ций y1(х), y2(х),…, yn(х) линейно зависима на (a, b), если $ постоянные a1, a2,…, an, такие что "хÎ(a, b) выполняется тождество a1y1(х)+a2y2(х)+…+anyn(х)º0, причем хотя бы одно из чисел a отлично от нуля. Если это тождество имеет место, когда a1=a2=…=an=0, то с-ма ф-ций y1(х), y2(х),…, yn(х) наз. линейно независимой на (a, b).

Т4 (необх. условие линейной зависимости ф-ции): Если ф-ции y1(х), y2(х),…, yn(х), имеющие производные до порядка (n-1) включит., линейно зависимы на (a, b), то на (a, b) определитель W(х) (опр-ль Вронского (вронскиан)) тождественно равен нулю.

W(х)= !!!!! Обратная теорема неверна!!!!!

Док-во: y1(х), y2(х),…, yn(х) линейно зависима

yn(х)=b1y1(х)+b2y2(х)+…+bn-1yn-1(х)

W(х)==0 ч. т.д.

Следствие: если W(х)¹0, то с-ма ф-ций будет линейно независимой на (a, b).

Т5: для того, чтобы частные решения y1(х), y2(х),…, yn(х) ЛОДУ L[y]=0 с непрерывными на (a, b) коэф-ми были линейно независимы на (a, b) необход. и достат., чтобы W(х)¹0 "хÎ(a, b).

9. Структура общего решения ЛОДУ.

Т6: у каждого ЛОДУ y(n)+р1(x)y(n-1)+…+рn(x)y=0 (3) с непрерывными на (a, b) коэф-ми рk(x), k=1,…, n, $ n линейно независимых решений y1(х), y2(х),…, yn(х), где хÎ(a, b). Общее решение этого ур-ния имеет вид у(х)=Сiyi(x).

Док-во:

(*)

W[y1, y2,…, yn]=W(x0)==1¹0 => y1, y2,…, yn – линейно независ. в силу Т5.

у(х)=Сiyi(x) – тоже решение. Осталось показать, что других решений не будет:

пусть — решение.

=у0, ,…, (†)

Покажем, что можем подобрать произвол. постоянные, такие что Сiyi(x)

Эта с-ма линейных неоднородных алгебр. ур-ний относит. С1,…, Сn. Определитель этой с-мы W(x0)¹0 => с-ма ур-ний относит. С1,…, Сn имеет единств. решение, значит можем подобрать С такой чтобы Сiyi(x) => у(х)=Сiyi(x) явл. общим решением ЛОДУ порядка n. ч. т.д.

Сов-сть любых n линейно независимых частных решений ЛОДУ n-го порядка наз. его фундаментальной с-мой решений. Фунд. с-ма решений полностью определяет ЛОДУ.

10. ЛОДУ с постоянными коэф-ми.

y(n)+a1y(n-1)+…+an-1y¢+any=0 (4), a1,…, an – числа; y=elx подставим в (4)

l(n)elx+a1l(n-1)elx+…+an-1lelx +anelx=0; elx (l(n)+a1l(n-1)+…+an-1l+an)=0; elx ¹0 =>

l(n)+a1l(n-1)+…+an-1l+an=0 – характеристическое ур-ние. l1,…, ln – корни.

1) все liÎR и это простые корни. Каждому простому корню будет соответствовать частное решение elix; 2) lk=ak ± ibk; elkx=eakx(cosbkx+i sinbkx); eakxcosbkx, eakxsinbkx – частные решения; 3) liÎR кратности m; elix, хelix,…, хm-1elix; 4) lk=ak + ibk, k=ak — ibk – кратности m; elkxcosbkx, хelkxcosbkx,…, хm-1elkxcosbkx,

elkxsinbkx, хelkxsinbkx,…, хm-1elkxsinbkx, 2m линейно независимых частных решений.

eakx *e±ibkx =eakx(cosbkx ± i sinbkx), eakxcosbkx, eakxsinbkx.

11. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения: принцип суперпозиции решений, структура общего решения. Метод вариации постоянных (метод Лагранджа) построения общего решения.

Линейные неоднородные ДУ.

y(n)+р1(x)y(n-1)+…+рn(x)y=f(x), L[y]=f(x)

Т7: если есть решение ЛНДУ L[y]=f(x), а у0(х) – решение соответ-щего ЛОДУ L[y]=0, то +у0(х) есть решение ур-ния L[y]=f(x). Док-во: L[+у0]=f(x) – это надо док-ть. L[+у0]=L[]+L[у0]=f(x)+0=f(x) ч. т.д.

Т8 (принцип суперпозиции): если у1(х) есть решение ур-ния L[y]=f1(x), а у2(х) – решение L[y]=f2(x), то у1(х)+у2(х) явл. решением L[y]=f1(x)+f2(x). Док-во: L[у1(x)+у2(x)]= L[у1(x)] +L[у2(x)]=f1(x)+f2(x) ч. т.д.

Т9 (структура общего решения ЛНДУ): уон=учн+уоо, уон=у* + Сiyi(x). Док-во: Рассмотрим набор чисел С1,…, Сn. у=у* + Сiyi(x) => по Т7 у явл. решением L[y]=f(x). у – произв. решение L[y]=f. у|x=x0=y0; у¢|x=x0=y¢0;…; у(n-1)|x=x0=y0(n-1). Рассмотрим у–у*: