Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка
Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка
— 1-го порядка
. (1)
Решением является функция.
y1=x,
(2)
Решением является вектор-функция.
Какая связь между решениями (1) и (2)-?
является решением системы дифф. ур-ий (2) <=> когда функция
решение уравнения (1).
__________________________________________________________________
x=x(t) на [
1) Функция x(t) должна быть дифференцируема n-раз на .
2) x=x(t)-при подстановке в уравнение (1) должно образовываться тождество, .
Теорема о существовании и единственности решения линейного дифф. ур-я n-го порядка.
и b(t) непр. на
Если ; x0, x0‘,x0’’,…. x0(n-1) – любые числа, то ∃ и притом единственное решение линейного дифф. ур-я (1), удовлетвор. след. ус-ям:
x(t0)= x0, x0‘(t0)= x0‘,x’’(t0)= x0’’, … , x(t0)(n-1)= x0(n-1).
Доказательство:
∃ и притом единственное решение линейного дифф. ур-я (2)
y(t0)=( x0, x0‘,x0’’,…. x0(n-1)).
Основные свойства реш-ий лин. дифф. у. n-го порядка.
1) наряду с лин. дифф. у. n-го порядка (1) всегда можно рассмотреть соответствующее однородное уравнение:
(3)
2) Пусть х*= х*(t) – некоторое решение неоднородного лин. дифф. у. (1), а U(t) – произвольное решение однородного у. (3).
Док-ть, что (х*(t)+ U(t)) – решение неоднородного (1):
. Сложим:
=>
=> ∑ решение неорднородного ур. (1).
3) Любое решение неоднородного дифф. у. (1) представимо в виде , где
-некоторое(конкретное) решение неоднородного ур-я (1), а
— некоторое решение однородного ур-я. (3).
Док-во:
Пусть x(t) – произвольное решение неоднородного ур-я
Вычтем из 1-го 2-ое
=> x(t)--решение соответствующего однородного ур-я
x(t)-=U(t) => x(t)=
+U(t).
Определение
∀ Запись произвольного решения лин. дифф. у. n-го порядка называется общим решением лин. ур-я.
Однородные линейные дифф. ур-я n-го порядка.
, где a0(t), a1(t), … , an-1(t) –некоторые функции от t.
Свойства
1) Однородное линейное дифф. ур-е всегда имеет решение. Решение – нулевая функция.
20 Любая линейная комбинация реш. дифф. ур-я (1) так же является решением однородного ур-я.
Док-во:
Д-м U1(t), U2(t), … , Uk(t) – реш. (1)
U(t)=λi-числа.
, i=1…k.
Умножим на λi , i=1…k.
Тогда => U(t) – решение (1).
3) пусть ф-и
непрерывны на , если
, а x0, x0‘,x0’’,…. x0(n-1), то существует и притом единственное решение (1) x(t0)= x0, x0‘(t0)= x0‘,x’’(t0)= x0’’, … , x(t0)(n-1)= x0(n-1).
Фундаментальная система решений однородного дифф уравнения n-го порядка
Система из n решений линейного однородного дифф ур-я (1) называется Фундаментальная система решений(ФСР) этого уравнения на , если
∃, такое что
;…;
.
Является линейно независимой в некоторой точке t0.
Теорема 13.1
Если непрерывны на
, то ∃ ФСР лин. однородного диф ур (1)
;…;
.
Теорема 13.2
Если ф-и непрерывны на
а
-ФСР (1), то любое решение этого уравнения является линейной комбинацией ФСР.
Док-во
-произвольное решение (1)
рассмотрим вектор, где ,
;…; λn
. Вектор н-мерный, лин незав
=> вектор раз-ся по
=> найд. такие λ1,λ2,…., λn(коэффициенты) =>
,
……………
=>
— решение однорь диф у (1) по св-ву 2.
Теорема 13.3
Пусть непрерывны на
-ФСР (1), то
;…;
.
Линейно независимы ∀.
Доказательство:
. ∃ ненулевой набор такиз чисел, что λ1( ) + …..+ λn( )= θ.
Рассмотрим
∀
. => получаем линейно зависимую систему-противоречие!
Метод вариации постоянных для решения неоднородного линейного дифференциального уравнения
Рассмотрим . (1)
всегда можно рассмотреть однородное дифф уравнение
(2)
x(t)=c1U1(t)+……+ cnUn(t). найдем решение в таком видел, где C1(t),…,Cn(t) пока неизвестны.
Теорме 14.1
Пусть непрерывны на
-ФСР соотв однородного ур-я (2).
Любое решение неоднородного (1), x(t)=c1U1(t)+……+ cnUn(t)., где
т. к. вектор линейно независим, то эта сис-ма имеет 1 решение
Тогда
Линейные диф. ур-я 1-го порядка
1) лин диф ур-е с разделяющимися перемен.
1го порядка:
, где x=x(t)
1) c разделяющимися переменными:
а) особые решения
б)
в)
2) Однородные
x=u*t
u=
x=