Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

— 1-го порядка

. (1)

Решением является функция.

y1=x,

(2)

Решением является вектор-функция.

Какая связь между решениями (1) и (2)-?

является решением системы дифф. ур-ий (2) <=> когда функция решение уравнения (1).

__________________________________________________________________

x=x(t) на [

1) Функция x(t) должна быть дифференцируема n-раз на .

2) x=x(t)-при подстановке в уравнение (1) должно образовываться тождество, .

Теорема о существовании и единственности решения линейного дифф. ур-я n-го порядка.

и b(t) непр. на

Если ; x0, x0‘,x0’’,…. x0(n-1) – любые числа, то ∃ и притом единственное решение линейного дифф. ур-я (1), удовлетвор. след. ус-ям:

x(t0)= x0, x0‘(t0)= x0‘,x’’(t0)= x0’’, … , x(t0)(n-1)= x0(n-1).

Доказательство:

∃ и притом единственное решение линейного дифф. ур-я (2)

y(t0)=( x0, x0‘,x0’’,…. x0(n-1)).

Основные свойства реш-ий лин. дифф. у. n-го порядка.

1) наряду с лин. дифф. у. n-го порядка (1) всегда можно рассмотреть соответствующее однородное уравнение:

(3)

2) Пусть х*= х*(t) – некоторое решение неоднородного лин. дифф. у. (1), а U(t) – произвольное решение однородного у. (3).

Док-ть, что (х*(t)+ U(t)) – решение неоднородного (1):

. Сложим:

=>

=> ∑ решение неорднородного ур. (1).

3) Любое решение неоднородного дифф. у. (1) представимо в виде , где -некоторое(конкретное) решение неоднородного ур-я (1), а — некоторое решение однородного ур-я. (3).

Док-во:

Пусть x(t) – произвольное решение неоднородного ур-я

Вычтем из 1-го 2-ое

=> x(t)--решение соответствующего однородного ур-я

x(t)-=U(t) => x(t)=+U(t).

Определение

∀ Запись произвольного решения лин. дифф. у. n-го порядка называется общим решением лин. ур-я.

Однородные линейные дифф. ур-я n-го порядка.

, где a0(t), a1(t), … , an-1(t) –некоторые функции от t.

Свойства

1) Однородное линейное дифф. ур-е всегда имеет решение. Решение – нулевая функция.

20 Любая линейная комбинация реш. дифф. ур-я (1) так же является решением однородного ур-я.

Док-во:

Д-м U1(t), U2(t), … , Uk(t) – реш. (1)

U(t)=λi-числа.

, i=1…k.

Умножим на λi , i=1…k.

Тогда => U(t) – решение (1).

3) пусть ф-и

непрерывны на , если , а x0, x0‘,x0’’,…. x0(n-1), то существует и притом единственное решение (1) x(t0)= x0, x0‘(t0)= x0‘,x’’(t0)= x0’’, … , x(t0)(n-1)= x0(n-1).

Фундаментальная система решений однородного дифф уравнения n-го порядка

Система из n решений линейного однородного дифф ур-я (1) называется Фундаментальная система решений(ФСР) этого уравнения на , если

∃, такое что

;…; .

Является линейно независимой в некоторой точке t0.

Теорема 13.1

Если непрерывны на , то ∃ ФСР лин. однородного диф ур (1)

;…; .

Теорема 13.2

Если ф-и непрерывны на а -ФСР (1), то любое решение этого уравнения является линейной комбинацией ФСР.

Док-во

-произвольное решение (1)

рассмотрим вектор, где ,

;…; λn. Вектор н-мерный, лин незав

=> вектор раз-ся по => найд. такие λ1,λ2,…., λn(коэффициенты) => ,

……………

=> — решение однорь диф у (1) по св-ву 2.

Теорема 13.3

Пусть непрерывны на -ФСР (1), то

;…; .

Линейно независимы ∀.

Доказательство:

. ∃ ненулевой набор такиз чисел, что λ1( ) + …..+ λn( )= θ.

Рассмотрим

∀. => получаем линейно зависимую систему-противоречие!

Метод вариации постоянных для решения неоднородного линейного дифференциального уравнения

Рассмотрим . (1)

всегда можно рассмотреть однородное дифф уравнение

(2)

x(t)=c1U1(t)+……+ cnUn(t). найдем решение в таком видел, где C1(t),…,Cn(t) пока неизвестны.

Теорме 14.1

Пусть непрерывны на -ФСР соотв однородного ур-я (2).

Любое решение неоднородного (1), x(t)=c1U1(t)+……+ cnUn(t)., где

т. к. вектор линейно независим, то эта сис-ма имеет 1 решение

Тогда

Линейные диф. ур-я 1-го порядка

1) лин диф ур-е с разделяющимися перемен.

1го порядка:

, где x=x(t)

1) c разделяющимися переменными:

а) особые решения

б)

в)

2) Однородные

x=u*t

u=

x=