Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами

V=

U’=0

U’=Q

U=

U=(

U’ V+U V’+U Vtgx=

U’ V+U(V’+Vtgx)=

V’+Vtgx=0

V’+Vtgx=0

+Vdx=0

ln|V|=ln|cosx|+ln|C|

ln|V|=ln|C·cosx| C=1

V=cosx

U’cosx=

U’=

U=tgx+C

y=(tgx+C)·cosx=sinx+C·cosx

Замечание: Полезно иметь в виду, что иногда дифф-е ур-е явл. линейным относ. х ,как функция от у,т. е. может быть приведено к виду: .

№63. Линейные дифференциальные ур-я 2-го порядка с постоянными коэффициентами:

y»+py’+gy=0 (1) p, g Є R.

λ2+pλ+g=0 (2)

1) λ1, λ2, Є R, λ1≠λ2

Решение: y1=, y2=, y0=C1+C2

2) λ1, λ2 Є R, λ1=λ2=λ

y1=, y2=x, y0=C1+C2

3)λ1, λ2 Є C, λ1/2=α±βi

y1=2=sinβx

y0=C121cosβx+C2sinβx)

Рассмотрим ур-е: y»+py’+gy=f(x) (3)

Во многих случаях правая часть ур-я (3) имеет вид: f(x)= (4), где Pr(x) и Qs(x)-многочлены в степени r и s соответственно, а и в — некоторые постоянные числа.

Известно, что в этом случае частное решение yн(х) ур-я (3) имеет аналогичную структуру правой части, т. е. частное решение в этом случае необходимо искать

ун(х)=хкm(x)cosbx+Q(x)sinbx) (5), где Pm(x) и Qm(x)- многочлены степени m

m={r, s}, k=числу корней характеристического ур-я совпадающему числу z=a+bi

f(x)=

yн=хкm(x)cosbx+Qm(x)sinbx)

m=max

k: a+bi

64

64. Производственная функция Кобба-Дугласа:

a1 a2 an

y = f(x) = cx1 x2 … xn xi – количество i-го фактора

( c, ai ≥ 0) y – объем выпуска продукции

·  Производственная функция Кобба-Дугласа является однородной степени r = a1 + … +an

С учетом отношения: f xi ( x ) = ai / xi f( x ), т. е. ε f, xi ( x ) = ai, факторные показатели (параметры) ai называются иногда (частными) производственными эластичностями.

Предельная норма замещения факторов:

Если рассмотреть линию уровня – изокванту производственной функции y = f(x1, …, xn) по высоте y0 и задаться вопросом, на сколько единиц надо (приблизительно) изменять количество i-го фактора xi, чтобы при постоянных объеме выпуска и значениях остальных переменных заменить одну единицу k-го фактора, то (при некоторых предположениях) будет определена неявная функция x k = φ (xi), призводная которой называется предельной нормой замещения:

φ/ (xi) = — fxi(x)/fxk(x)

предельная норма замещения (фактор k заменен фактором i)

Чувствительность цены опциона “ колл”

Формула Блэка-Шоулза: Pколл = PФ(d1) – Se-iTФ(d2), где d1 = 1/σ√T (ln(P/S) + T(i + σ2/2)) и d2 = d1 — σ√T определяет цену: Pколл опциона “колл”(на покупку акции)в зависимости от входных параметров: P (актуальная цена акции), S (базисная цена; цена исполнения, указанная в опционе), i (безрисковая процентная ставка при мгновенном начислении процентов), T (остаточный срок действия опциона), σ2 (дисперсия рентабельности акции), Ф (функция распределения стандартного нормального распределения, а φ – ее плотность: φ(x) = (1/√2π)e-x*x/2

Изменение цены опциона “колл” при изменении i — го входного параметра на ∆xi(при неизменных фиксированных значениях остальных параметров) можно оценить с помощью частного дифференциала (∂Pколл/∂P)∆xi, где, например,

∆ = ∂Pколл/∂P = Ф(d1)>0 — дельта; чувствительность цены опциона относительно изменения цены акции P.

65.Числовые ряды: если задана числовая последовательность (un), то выражение

u1 + u2 + u3 +… + un +…, называется числовым рядом.

n

Если существ. lim Sn = S, где Sn = ∑ uk = u1 + u2 +… + un −

n — ∞ k=1

его n –ая частичная сумма, то ряд назыв. сходящимся (число S – сумма ряда),

в противном случае – расходящимся.

Если ряд сходится, то

lim un = 0

n — ∞ (необходимый признак сходимости)

66.Признаки срав-ия для полож. рядов. Пр. Даламбера и Коши сход-ти рядов.

Укажем достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.

Признак сравнения: если 0 < un ≤ vn для любых n, принадлежащих N (или начиная с некоторого номера n0), то из сходимости ряда ∞ ∞

∑ vn следует сходимость ряда ∑ un,

n=1 n=1

а из расходимости ряда ∞ ∞

∑ un − расходимость ряда ∑ vn.

n = 1 n = 1

Предельный признак сравнения: если lim (un/vn) = A (A − const, A > 0), то оба ряда

n — ∞

сходятся или расходятся одновременно.

∞

Признак Даламбера: если для ряда ∑ un существует lim ( un+1/un ) = p, то при p<1 ряд

n = 1 n — ∞

сходится, а при p>1 расходится.

Признак Коши: если lim (un)1/n = p, то при p<1 ряд сходится, а при p>1 расходится.

n — ∞

Два последних признака не дают ответа, когда p=1

∞

Интегральный признак:если члены ряда ∑ un таковы, что un = f (n) для любых n,

n = 1

принадлежащих N, где f(x) − непрерывная положительная монотонно убывающая в полуинтервале [ 1; +∞] функция, то этот ряд сходится ( расходится ) тогда и только тогда,

+∞

когда сходится ( расходится ) несобственный интеграл ∫ f(x) dx.

67.Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.

Знакопеременными наз. ряды, члены которых являются действитель-ными числами любого знака. Пусть дан такой ряд