Линейная зависимость и независимость векторов

7) .

Доказательство:

8) .

Доказательство:

9) .

Доказательство:

Линейная зависимость и независимость векторов

Опр.2. Вектор называется линейной комбинацией векторов , если .

Говорят также, что вектор b линейно выражается через векторы .

Опр.3. Система векторов пространства называется линейно зависимой, если существуют неравные нулю одновременно элементы поля Р такие, что .

Опр.4. Система векторов называется линейно независимой, если равенство выполняется только при .

Свойства линейной зависимости векторов:

1) Система, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.

Доказательство: Пусть первый вектор системы — нулевой, т. е. имеем систему , тогда . То есть нашлись не равные нулю одновременно элементы поля Р — , такие что линейная комбинация системы векторов равна . Значит система векторов линейно зависима. ▲.

2) Система векторов линейно зависима, если какая-то её подсистема (часть) линейно зависима.

Доказательство: Пусть дана система векторов , причем её подсистема — линейно зависима. Значит, существуют не равные нулю одновременно , такие, что система линейно зависима. ▲.

Следствие: любая подсистема линейно независимой системы векторов линейно независима.

3) Система векторов линейно зависима хотя бы одни вектор этой системы линейно выражается через остальные векторы системы.

Доказательство: 1. . Пусть — линейно зависимая система , не равные нулю одновременно, такие, что . Пусть для определенности Тогда, умножив равенство на , получим:

, т. е. линейно выражается через .

2. . Пусть, например, линейно выражается через такие, что . Т. е. нашлись такие не равные нулю одновременно элементы поля Р: , что . Значит система векторов линейно зависима. ▲.

4) Если система векторов линейно независима, а система — линейно зависима, то вектор b единственным образом линейно выражается через .

Доказательство: 1. Существование разложения. Так как система линейно зависима, то , не равные нулю одновременно, такие, что . Обязательно , т. к. в противном случае была бы линейно зависима. Значит , то есть b линейно выражается через .