Линейная зависимость и независимость векторов

(т. к. они противоположные).

п.2. Линейная зависимость и независимость векторов.

Опр2: Вектор ЄV наз-ся линейной комбинацией векторов ,…,mЄV, если $ l1,…, lmЄP:в=l1+…+lmm.

Опр3: Система векторов ,…,m- наз-ся линейно зависимой тогда и только тогда, когда $ l1,…, lmЄP: l1+l22+…+lmm=, (l1, l2,…, lm)¹(,,…,).

Опр4: Система векторов ,…,m н-ся линейно независимой тогда и только тогда, когда l1+l22+…+lmm= Û l1=l2=…=lm=0.

Св-ва:

1. Система содержащая нулевой вектор зависима.

Пусть ,2,…,m: е+02+…+0m= и (е,0,0,…,0)¹Þлинейно зависима.

2. Система векторов линейно зависима, если какая-то её подсистема линейно зависима.

Следствие: Любая подсистема линейно независимых систем векторов линейно независима.

3. Система векторов линейно зависимаÛхотя бы один вектор этой системы линейно выражается через остальные.

Док-во: I (Þ)

— линейная зависимость Þ$ l1,…, lmÎP

Þ$ отличный от нуля li. Пусть это будет l1¹0. Получим а1=(-l1-1l2)+…+ (-l1-1lm).

а1- линейно выражается через остальные. чтд

II (Ü)

Один из векторов линейно выражается через остальные.

Þ, причём (-е, j2,…,jm)¹ Þ a1,a2,…,am— линейно зависимы. чтд.

4. (1) a1,a2,…,am – линейно независимые

(2) a1,,…,am,,в – линейно зависимые, тогда — линейная комбинация системы векторов (1).

(2) Þ$ l1,l2,…,lm, lÎR:

Þ l¹0, т. к. в противном случае (1) была бы зависима Þ

=(-l-1l1)+…+ (-l-1lm) чтд

5. (1) а1,…,аm

(2) в1,…,вk

(3) m>k

(4) Каждый вектор системы (1) линейно выражается через векторы системы (2).

Тогда (1)- линейно зависимая система (т. е. Если большая система (1) выражается через меньшую систему (2), то большая линейно зависима).

Док-во: (4)Þ (5) 1=j111+…+j1kk

…

m=jm11+…+jmkk

(1)- линейно зависима Û $ l1,…, lmЄP:

l1+…+lmm=

(l1,…, lm)¹ Û(система (5))Û l1(j111+…+j1kk)+…+ lm(jm11+…+jmkk)=Û

(6) (l1 j11+…+ lm jm1)1+…+ (l1 j1k+…+ lm jmk)k=

(l1,…, lm)¹0

Покажем, что (6)- истинное утверждение, тем самым докажем и св-во.

Для этого рассмотрим систему уравнений:

(7) j11x1+…+jm1xm=0

…

j1kx1+…+jmkxm=0