Линейная зависимость функций

Линейная зависимость функций.

Определение. л. з.

. Если же л. незав. на интервале .

Предположим, что раз непрерывно дифференцируемо на .

Определение. Вронскианом (определителем Вронского) функций называется следующий определитель:

Теорема: л. з. на .

Доказательство:

…

фиксированное

— ?

Сл.

л. незав.

Сл. Многочлены равны тогда и только тогда, когда у них равны коэффициенты при одинаковых степенях.

Линейные, однородные уравнения с постоянными коэффициентами.

(1)

Опр.

Характеристическим многочленом Для (1) наз-ся многочленом , а характеристическим уравнением (1) наз-ся .

Св-ва: :

1) (Основная теорема алгебры)

; где: -корни многочлена, -кратности многочлена. ;

Существует единственный, если не считать порядок множителей представления, представления мн-на в виде

2) Свойства многочлена с действ. коэффициентом.

Если некоторое комплексное число является корнем кратности многочлена :то компл. сопреж. к нему число так же корень мн-на тойже кратности.

3) (Критерий кратности корня)

, тогда и только тогда будет кратностью корня когда

,

Правила нахождения Ф. С.Р. Ур-ния (1):

Найти все корни соотв. Хар-ко многочлена вместе с их кратностями каждому действ. корню поставить в соответствие функции ; k-кратность корня; ,

А каждой паре комплонарных сопряженных нужно сопоставить ф-цию:

s-кратность каждого корня.

Функции указанным образом сопоставляются всем действительным корням и всем парам комплексн. Сопряж., образуют Ф. С.Р. Ур-ия (1)

Док-во:

Для частных случаев

1) все корни характеристического многочлена действительны и имеют кратность=1.

— Ф. С.Р.

подставим в (1)

2) n=2

Где .

Пример1: Пример2:

Пример 3:

Линейные, неоднородные уравнения высшего порядка.

Свойства уравнения (1):

3) Разность двух любых решений неодн.= решению однородного.

4)

Метод Лагранжа (метод вариаций производных постоянных)

1) Составить и решить систему алгебраических уравнений

Доказательство:

Для

(и еще +f(x) для k=n )

Метод неопределенных коэффициентов.

(Для уравнений с постоянными коэффициентами)

1) — квазимногочлен

k=0, , если не является корнем соответствующего уравнения а если , то берется кратности этого корня.

берется неопределенное, а затем находится подстановкой в .

2)

Формула Остроградского-Лавуазеля

(1)

Теорема 1: Пусть у1,y2,…,yn — л. Незав.

Уравнение вида (1). Для каждого этажа функция является фундаментальной системой решения.

Док-во:

1) Существование:

(2)

(3)

2) Единственность:

(4)

-непр-на.

Если функция неправильна в некоторой точке то она неправильна в некоторой окрестности этой точки.

реш. (1)и (4), то тогда это реш. Разности (1) и (4)

Исходное уравнение не может иметь решений больше чем его порядок.

Теорема 2:

Ф. С.Р. уравнения (1), W(x) фикс. спарв. Формула

(ф. О.-Л.)

По формуле Ф. С.Р. мин. Одн. Уравнения восстан ед. образом. (2), (3) восстан. По Ф. С.Р.

; ;

; ;

; ;

Линейные уравнения Эйлера

(1)

(2)

(2’)

Определение: Определяющим уравнением для (2) называется уравнение (3)

Правило нахождения Ф. С.Р. уравнения (2)

Вначале найдите корни соответствующего определенного уравнения (3) в соответствии с их кратностью.

Каждому действ. , кратн. k соответствующий функции

а компл. кратн. S

Функцию указанным образом сопоставляют всем действительным корням и комплексным числам.

Линейные однородные уравнения (производного порядка).

(1)

— ?

— коэффициенты уравнения непрерывны на .

(1’)

(1”)

— оператор (линейный)

Свойство 1: Линейная комбинация с коэффициентами решения (1) сама будет решением (1).

Свойство 2: на решение уравнения (1) такое, что .

Теорема 1: — решение (1) л. з.

Доказательство:

— ?

— не нулевые решения системы.

— решение (1)

В силу соотв.

Теорема 2: Пусть — решения уравнения (1), тогда справедливо одно и только одно из следующих двух утверждений:

1) ( л. з.)

2) ( л. незав.)

Доказательство:

тогда по Т. 1 решение л. з.

Определение: Фундаментальной системой решений уравнения (1) называется n его независимых решений.

Теорема 3: уравнения (1) фундаментальная система решений.

Доказательство: фиксируем

Теорема 4:

— ф. с.р.

Доказательство:

Фиксируем

— ?

Следствие: (1), n

Доказательство:

— л. незав.

ф. с.р.

Линейные системы.

(1)

?

, ; ; (1’)

Если то (1) называется однородной системой, иначе называется неоднородной.

1.однородные системы

(2)

(3)

Опр: Векторы (3) наз. лин. Зависимыми если существуют такие не все равные нулю, что . Если это равенство справедливо лишь при , то векторы называются лин. не зависимыми.

Опр: фундаментальной системой решений системы (2) наз. совокупность n лин. нез. вект. является ее решениями

Опр: определителем Вронского или вронскианом (3) наз. определитель

обозначение Δ,Δ(x),

Теор1: пусть векторы (3) лин. зав. на I тогда Δ(x)≡0

Теор2: пусть векторы (3) реш. сист. (2) тогда справедливо одно и только одно утв.

А)Δ(x)≡0 (равносильно (3) л. з.)

B) (3) лин. независимо)

Теор3: общее решение (2) имеет вид, где постоянные произведения, действительных — ФСР (2)

2. линейные однородные системы с постоянными коофициентами

(Случай n=3)

, , A= (4) k, j=1…3

j=1,…,3ф. с.р. системы (4)

Предположим что А имеет действительные собственные значения

линейно независимые векторы обладающие одним из следующих св-в.

1) собственные векторы А

, j=1,2,3

собственное значение соответствующего собственного вектору

2) собственный вектор А

присоединенный вектор к

(5)

где собственные значения для векторов

3) собственный вектор А

присоединенные векторы к

λ собственное значения для вектора

Для А (>0) собственное значение собственного вектора с

какой либо собственный вектор с

Доказательство формулы (5):

Δ(x) , Δ(0) следовательно

Δ(0) определитель, столбцы которого

По (Т2) векторы (5) линейно независимы

j =1,2

определение собственное значение собственного вектора

по опр. соб. вектора.

истинно по опр. соб. вектора.

3.линейная неоднородная система

Предположим (3) ф. с.р.

составить и

1) решить ф. с.р.

2

3)

n=2 лучше методом исключений

Устойчивость решений.

решение

Опр. Решение системы (1) называется устойчивым (в смысле Ляпунова) если такое что для всякого решения для которого выполняется неравенство выполнялось также неравенство где расстояние в n-мерном пространстве.

Опр. Решение системы (1) называется устойчивым асимптотическим, если оно устойчиво и кроме того такое что

Считаем сначала что система (1) имеет нулевое решение, и далее будем говорить об устойчивости или неустойчивости нулевого решения.

Значит нулевое решение неустойчиво

нулевое решение устойчиво асимптотически
Допустим функции

Опр. Системой первого приближения для системы (1) называется система:

(2)

Теорема: Если все собственные значения матрицы А отрицательную действительную часть, то нулевое решение асимптотически устойчиво, а если хоть одно значение матр. А имеет положительную часть то решение неустойчиво.

Опр. Матрицей Гурвица многочлена (3) называется следующая матрица:

-где — коэффициенты (3) для k=1,2,…,n

при k<0 и k>n

Критерий Рауса-Гурвица

Для того чтобы корни многочлена (3) имели отрицательную действительную часть, необходимо и достаточно чтобы были положительными все главные миноры соответствующей матрицы Гурвицы.

Фазовая плоскость.

(1)

j=1,2;

Определения:

1)  Фазовой плоскостью называется пространство R2 переменных y1,y2.

2)  Фазовой траекторией называется проекция любой интегральной системы (1) на фазовую плоскость.

3)  Фазовой картиной системы (1) называется совокупность всех ее фазовых траекторий.

— собственные значения матрицы A.

Существует 9 типов фазовых картин:

Решение такого вида:

фиксированного

Доказательство для дикритического узла:

2 линейно независимых собственных вектора матрицы A.

Если :

Если :

Линейные интегральные уравнения 2-го рода.

Определение: Интегральным уравнением называется уравнение, содержащее подынтегральную среднюю под интегралом.

Интегральные уравнения:

(1)

K(x, t) — ядро уравнения

F(x) — свободный член (правая часть уравнения)

— параметр (действительное число в общем виде)

Если левая часть обозначается через L(y), то L(y)- линейный оператор.

— однородное, — неоднородное.

Будем полагать все функции в (1) непрерывными.

Нет способа решения уравнения (1) в общем случае. Существует лишь свойства решения.

Для любого фиксированного справедливы 3 теоремы:

1)  Справедливо одно и только одно из следующих 2 утверждений:

а) однородное уравнение (1) имеет ненулевые решения.

б) соответствующее неоднородное уравнение (1) имеет единственное решение

при любой правой части.

2) Однородное уравнение (1) и союзное однородное уравнение (1) имеют конечное и при том одинаковое число решений.

3) Если реализуется первое условие теоремы (1), то для разрешимости неоднородного уравнения (1) чтобы

Определение: собственными значениями однородного уравнения (1) называются

значения параметра , при котором это уравнение имеет ненулевые

решения.

Определение: Спектром однородного уравнения (1) называется совокупность его

собственных значений.

Теорема 4: любой конечный интервал действительной оси содержит разве что конечное число точек спектра.

Эти теоремы называются теоремами Фредгольма.

Определение: Ядро уравнения (1) называется вырожденным, если оно имеет вид

Функции и является лин. незав.

Подставим в уравнение (1) вырожденное ядро:

(3)

Обозначим k=1,…,n

Уравнение (3): (4)

Из уравнения (3) (3’)

Умножим правую и левую части уравнения (3) на bj(x), j=1,…,n и интегрировать

(5) j=1,…,n

(6) j, k=1,…,n

j=1… n

(7) j=1,…,n

— система линейных алгебраических уравнений

Для того чтобы решить уравнение (1) в случае вырожденного ядра необходимо по формулам (6) и (7) найти константы и , составить систему (8) и записать по формуле (4) решение исходного уравнения.