Учебные материалы по математике | Линейная зависимость функций | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Линейная зависимость функций


Линейная зависимость функций.

Определение. л. з.

. Если же л. незав. на интервале .

Предположим, что раз непрерывно дифференцируемо на .

Определение. Вронскианом (определителем Вронского) функций называется следующий определитель:

Теорема: л. з. на .

Доказательство:

фиксированное

— ?

Сл.

л. незав.

Сл. Многочлены равны тогда и только тогда, когда у них равны коэффициенты при одинаковых степенях.

Линейные, однородные уравнения с постоянными коэффициентами.

(1)

Опр.

Характеристическим многочленом Для (1) наз-ся многочленом , а характеристическим уравнением (1) наз-ся .

Св-ва: :

1) (Основная теорема алгебры)

; где: -корни многочлена, -кратности многочлена. ;

Существует единственный, если не считать порядок множителей представления, представления мн-на в виде

2) Свойства многочлена с действ. коэффициентом.

Если некоторое комплексное число является корнем кратности многочлена :то компл. сопреж. к нему число так же корень мн-на тойже кратности.

3) (Критерий кратности корня)

, тогда и только тогда будет кратностью корня когда

,

Правила нахождения Ф. С.Р. Ур-ния (1):

Найти все корни соотв. Хар-ко многочлена вместе с их кратностями каждому действ. корню поставить в соответствие функции ; k-кратность корня; ,

А каждой паре комплонарных сопряженных нужно сопоставить ф-цию:

s-кратность каждого корня.

Функции указанным образом сопоставляются всем действительным корням и всем парам комплексн. Сопряж., образуют Ф. С.Р. Ур-ия (1)

Док-во:

Для частных случаев

1) все корни характеристического многочлена действительны и имеют кратность=1.

— Ф. С.Р.

подставим в (1)

2) n=2

Где .

Пример1: Пример2:

Пример 3:

Линейные, неоднородные уравнения высшего порядка.

Свойства уравнения (1):

3) Разность двух любых решений неодн.= решению однородного.

4)

Метод Лагранжа (метод вариаций производных постоянных)

1) Составить и решить систему алгебраических уравнений

Доказательство:

Для

(и еще +f(x) для k=n )

Метод неопределенных коэффициентов.

(Для уравнений с постоянными коэффициентами)

1) — квазимногочлен

k=0, , если не является корнем соответствующего уравнения а если , то берется кратности этого корня.

берется неопределенное, а затем находится подстановкой в .

2)

Формула Остроградского-Лавуазеля

(1)

Теорема 1: Пусть у1,y2,…,yn — л. Незав.

Уравнение вида (1). Для каждого этажа функция является фундаментальной системой решения.

Док-во:

1) Существование:

(2)

(3)

2) Единственность:

(4)

-непр-на.

Если функция неправильна в некоторой точке то она неправильна в некоторой окрестности этой точки.

реш. (1)и (4), то тогда это реш. Разности (1) и (4)

Исходное уравнение не может иметь решений больше чем его порядок.

Теорема 2:

Ф. С.Р. уравнения (1), W(x) фикс. спарв. Формула

(ф. О.-Л.)

По формуле Ф. С.Р. мин. Одн. Уравнения восстан ед. образом. (2), (3) восстан. По Ф. С.Р.

; ;

; ;

; ;

Линейные уравнения Эйлера

(1)

(2)

(2’)

Определение: Определяющим уравнением для (2) называется уравнение (3)

Правило нахождения Ф. С.Р. уравнения (2)

Вначале найдите корни соответствующего определенного уравнения (3) в соответствии с их кратностью.

Каждому действ. , кратн. k соответствующий функции

а компл. кратн. S

Функцию указанным образом сопоставляют всем действительным корням и комплексным числам.

Линейные однородные уравнения (производного порядка).

(1)

— ?

— коэффициенты уравнения непрерывны на .

(1’)

(1”)

— оператор (линейный)

Свойство 1: Линейная комбинация с коэффициентами решения (1) сама будет решением (1).

Свойство 2: на решение уравнения (1) такое, что .

Теорема 1: — решение (1) л. з.

Доказательство:

— ?

— не нулевые решения системы.

— решение (1)

В силу соотв.

Теорема 2: Пусть — решения уравнения (1), тогда справедливо одно и только одно из следующих двух утверждений:

1) ( л. з.)

2) ( л. незав.)

Доказательство:

тогда по Т. 1 решение л. з.

Определение: Фундаментальной системой решений уравнения (1) называется n его независимых решений.

Теорема 3: уравнения (1) фундаментальная система решений.

Доказательство: фиксируем

Теорема 4:

— ф. с.р.

Доказательство:

Фиксируем

— ?

Следствие: (1), n

Доказательство:

— л. незав.

ф. с.р.

Линейные системы.

(1)

?

, ; ; (1’)

Если то (1) называется однородной системой, иначе называется неоднородной.

1.однородные системы

(2)

(3)

Опр: Векторы (3) наз. лин. Зависимыми если существуют такие не все равные нулю, что . Если это равенство справедливо лишь при , то векторы называются лин. не зависимыми.

Опр: фундаментальной системой решений системы (2) наз. совокупность n лин. нез. вект. является ее решениями

Опр: определителем Вронского или вронскианом (3) наз. определитель

обозначение Δ,Δ(x),

Теор1: пусть векторы (3) лин. зав. на I тогда Δ(x)≡0

Теор2: пусть векторы (3) реш. сист. (2) тогда справедливо одно и только одно утв.

А)Δ(x)≡0 (равносильно (3) л. з.)

B) (3) лин. независимо)

Теор3: общее решение (2) имеет вид, где постоянные произведения, действительных — ФСР (2)

2. линейные однородные системы с постоянными коофициентами

(Случай n=3)

, , A= (4) k, j=1…3

j=1,…,3ф. с.р. системы (4)

Предположим что А имеет действительные собственные значения

линейно независимые векторы обладающие одним из следующих св-в.

1) собственные векторы А

, j=1,2,3

собственное значение соответствующего собственного вектору

2) собственный вектор А

присоединенный вектор к

(5)

где собственные значения для векторов

3) собственный вектор А

присоединенные векторы к

λ собственное значения для вектора

Для А (>0) собственное значение собственного вектора с

какой либо собственный вектор с

Доказательство формулы (5):

Δ(x) , Δ(0) следовательно

Δ(0) определитель, столбцы которого

По (Т2) векторы (5) линейно независимы

j =1,2

определение собственное значение собственного вектора

по опр. соб. вектора.

истинно по опр. соб. вектора.

3.линейная неоднородная система

Предположим (3) ф. с.р.

составить и

1) решить ф. с.р.

2

3)

n=2 лучше методом исключений

Устойчивость решений.

решение

Опр. Решение системы (1) называется устойчивым (в смысле Ляпунова) если такое что для всякого решения для которого выполняется неравенство выполнялось также неравенство где расстояние в n-мерном пространстве.

Опр. Решение системы (1) называется устойчивым асимптотическим, если оно устойчиво и кроме того такое что


Считаем сначала что система (1) имеет нулевое решение, и далее будем говорить об устойчивости или неустойчивости нулевого решения.

Значит нулевое решение неустойчиво

нулевое решение устойчиво асимптотически
Допустим функции

Опр. Системой первого приближения для системы (1) называется система:

(2)

Теорема: Если все собственные значения матрицы А отрицательную действительную часть, то нулевое решение асимптотически устойчиво, а если хоть одно значение матр. А имеет положительную часть то решение неустойчиво.

Опр. Матрицей Гурвица многочлена (3) называется следующая матрица:

-где — коэффициенты (3) для k=1,2,…,n

при k<0 и k>n

Критерий Рауса-Гурвица

Для того чтобы корни многочлена (3) имели отрицательную действительную часть, необходимо и достаточно чтобы были положительными все главные миноры соответствующей матрицы Гурвицы.

Фазовая плоскость.

(1)

j=1,2;

Определения:

1)  Фазовой плоскостью называется пространство R2 переменных y1,y2.

2)  Фазовой траекторией называется проекция любой интегральной системы (1) на фазовую плоскость.

3)  Фазовой картиной системы (1) называется совокупность всех ее фазовых траекторий.

— собственные значения матрицы A.

Существует 9 типов фазовых картин:

№ п/п

условия

название

краткие пояснения

Схематический рисунок

1

sign=

=sign

седло

вначале следует провести 2 прямые(сепаратрисы)

через нач. координат в направлении собственных

векторов, фазовыми траекториями будут 4 семейства кривых в виде сепаратрисы, а также половинки сепаратрис, разграниченных осями

координат.

2

sign=

sign

узел

проводится 2 сепаратрисы, строятся 2 семейства

кривых(параболы), касающихся в нач. координат

той сепаратрисы, которой соответствует наименьшее по модулю собственное значение матрицы A. Фазовые траектории – половинки сепаратрис, разграниченные началом координат.

3

Re

Im

фокус

фазовые траектории –кривые, типа логарифмических спиралей.

бесконечное мн-во лог, спиралей

4

Re

Im

центр

Фазовая траектория-семейство эллипсов с центром в начале координат, похожие на концентрические окружности.

5

Параллельные полупрямые

Вначале следует провести сепаратрису, в направлении вектора, которому отвечает нулевое собственное значение. Провести семейство прямых, параллельно тому вектору, которому отвечает нулевое значение. Фазовые траектории — точки на сепаратрисах, половинки прямых, разграниченных сепаратрисами.

6

У матрицы A 2 линейно независимых собственных вектора.

Дикритический узел

Фазовые траектории- лучи, выходящие из начала координат.

7

1 линейно независимый вектор.

Вырожденный

узел

Провести сепаратрису через начало координат в направлении собственного вектора, затем семейство характерных

кривых, касающихся в начале координат сепаратрис и симметричных относительно начала координат.

Фазовые траектории- половинки сепаратрис и указанных кривых.

8

1 лин. незав.

собств.

вектора

Параллельные

прямые

Проводят сепаратрисы (как в 1). Фазовые траектории — точки на сепаратрисах и все прямые параллельные сепаратрисам.

9

Всевозможные

точки

Фазовые траектории- все точки на фазовой плоскости.

Решение такого вида:

фиксированного

Доказательство для дикритического узла:

2 линейно независимых собственных вектора матрицы A.

Если :

Если :

Линейные интегральные уравнения 2-го рода.

Определение: Интегральным уравнением называется уравнение, содержащее подынтегральную среднюю под интегралом.

Интегральные уравнения:

(1)

K(x, t) — ядро уравнения

F(x) — свободный член (правая часть уравнения)

— параметр (действительное число в общем виде)

Если левая часть обозначается через L(y), то L(y)- линейный оператор.

— однородное, — неоднородное.

Будем полагать все функции в (1) непрерывными.

Нет способа решения уравнения (1) в общем случае. Существует лишь свойства решения.

Для любого фиксированного справедливы 3 теоремы:

1)  Справедливо одно и только одно из следующих 2 утверждений:

а) однородное уравнение (1) имеет ненулевые решения.

б) соответствующее неоднородное уравнение (1) имеет единственное решение

при любой правой части.

2) Однородное уравнение (1) и союзное однородное уравнение (1) имеют конечное и при том одинаковое число решений.

3) Если реализуется первое условие теоремы (1), то для разрешимости неоднородного уравнения (1) чтобы

Определение: собственными значениями однородного уравнения (1) называются

значения параметра , при котором это уравнение имеет ненулевые

решения.

Определение: Спектром однородного уравнения (1) называется совокупность его

собственных значений.

Теорема 4: любой конечный интервал действительной оси содержит разве что конечное число точек спектра.

Эти теоремы называются теоремами Фредгольма.

Определение: Ядро уравнения (1) называется вырожденным, если оно имеет вид

Функции и является лин. незав.

Подставим в уравнение (1) вырожденное ядро:

(3)

Обозначим k=1,…,n

Уравнение (3): (4)

Из уравнения (3) (3’)

Умножим правую и левую части уравнения (3) на bj(x), j=1,…,n и интегрировать

(5) j=1,…,n

(6) j, k=1,…,n

j=1… n

(7) j=1,…,n

— система линейных алгебраических уравнений

Для того чтобы решить уравнение (1) в случае вырожденного ядра необходимо по формулам (6) и (7) найти константы и , составить систему (8) и записать по формуле (4) решение исходного уравнения.

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод