Лемма ватсона

Можно сказать, что вклад граничной точки существенно меньше вклада внутренней.

Лемма Ватсона (частный случай):

Многие интегралы сводятся к виду

, где и непрерывна на и дифференцируема в окрестности тогда при справедливо разложение

3.  Метод стационар­ной фазы: вклад от невырожденной стационарной точки.

4.  Метод перевала: выбор контура, нахождение первого члена разложения.

где — аналитическая ФКП. С – произвольный, но на краях

Выбор контура:

1)  Найти точку перевала

2)  Нарисовать карту линий уровня

3)  Изменить путь интегрирования

4)  Применить формулу Лапласа

  X.  Конформное отображение

1.  Геометрический смысл производной функции комплексного переменного.

Свойство сохранения углов:

Угол между двумя направлениями на z равен углу между двумя направлениями на плоскости W.

Определение: отображение окрестности точки на окрестность точки осуществляемое аналитической функцией и обладающее в свойствами сохранения углов и постоянства растяжений называется конформным отображением.

2.  Линейные и дробно-линейные преобразования.

инверсия относительно окружности.

Теорема:

прямая переходит либо в прямую, либо в окружность, и окружность в окружность или прямую.

  XI.  Методы математической физики Постановка задач математической физики

1.  Постановка задач математической физики.

2.  Корректность постановки задачи.

1 —  Задача должна допускать решение

2 —  Это решение должно быть единственным

3 —  Это решение должно быть устойчивым (малые изменения условий не сильно меняют решения)

XII.  Классификация уравнений

1.  Классификация уравнений с частными производными.

·  Эллиптического типа (равновесие)

уравнение Лапласа

или

Пуассона

·  Гиперболического типа (при небольшом отклонении)

уравнение малых колебаний, где С – скорость распростанения колебаний в данной среде.

·  Параболические (уравнения переноса, диффузии, теплопроводности)

где С – коэффициент диффузии, теплопроводности

2.  Классификация и приведение к каноническому виду линейных уравнений с двумя переменными и понятие о классификации для n переменных.

XIII.  Простейшие задачи, приводящие к уравнениям гиперболического и параболи­ческого типов

1.  Задачи о продольных и поперечных колебаниях струны.

Вывод:

2.  Телеграфное уравнение.

3.  Задачи о распространении тепла и диффузии газов (одномерный и трехмерный случаи).

4.  Три типа краевых условий.

5.  Единственность и устойчивость первых краевых задач для уравнений гиперболического и параболического типов.

6.  Принцип максимума.

7.  Метод распространяющихся волн (метод Даламбера).

8.  Формула Даламбера.

9.  Решение задач для полуограниченной прямой и отрезка.

10.  Распространение краевого режима.

Теория

·  Ряды Тейлора и Лорана

·  Метод перевала

·  Метод Лапласа. Метод стационарной фазы.

·  Многозначные и многолистные функции. Понижение Римановой поверхности. Степенные функции.

·  Достаточные условия дифференцирования по комплексной переменной. Аналитические функции и их связь с гармоническими.

·  Классификация особых точек. Поведение аналитической функции в окрестности изолированных особых точек.

·  Применение теории вычетов к вычислению интегралов типа

·  Интегрирование по комплексной переменной. Теорема Коши. Интегральная теорема Коши.

·  Конформное отображение. Геометрический смысл производной функции комплексной переменной. Линейное и дробно-линейное преобразование.

·  Аналитическое продолжение.

·  Определение вычета. Основная теорема вычета.

·  Уравнение параболического типа: простейшие задачи. Типы краевых условий. Принцип максимума и единственности.

·  Применение вычетов к вычислению интегралов типа и

·  Метод распределения волн: полубесконечная струна, конечный отрезок.