Лекция по теории функции комплексной переменной
Определение 6.3. Точка называется внешней точкой множества
, если существует такая
— окрестность
, все точки которой не принадлежат множеству
.
Определение 6.4. Точка называется граничной точкой множества
, если в любой её
— окрестности содержатся как точки, принадлежащие множеству
, так и точки, не принадлежащие множеству
.
Например, точка является граничной точкой множества
.
Определение 6.5. Совокупность всех граничных точек образует границу множества и обозначается .
Простейшим примером границы области, очевидно, является кривая; однако граница области может состоять из дискретного множества точек. Например, множество точек образует на комплексной плоскости область, границей которой является точка
.
Определение 6.6. Множество, полученное присоединением к области всех её граничных точек, называется замкнутой областью.
Замкнутую область обычно обозначают, ставя черту над символом области, например: ,
.
Единственным примером области, не имеющей границы, является расширенная плоскость.
Любая непрерывная замкнутая кривая без точек самопересечения (Жорданова кривая) делит плоскость на две области: содержащую бесконечно удаленную точку (внешнюю) и не содержащую (внутреннюю). Сама кривая является границей обеих областей.
Определение 6.7. Область называется односвязной, если внутренность любой Жордановой кривой, принадлежащей области, также принадлежит области.
Примером односвязной области является внутренняя часть круга – её границей служит окружность. Примером многосвязной ( — связной) области может служить область, граница которой состоит из
Жордановых кривых:
(рис.10).
Рис.10.
Определение 6.8. Если область целиком лежит внутри некоторого круга конечного радиуса, то она называется ограниченной. В противном случае – неограниченной.
ЛЕКЦИЯ № 3
§7. Функции комплексного переменного.
Будем считать, что на множестве комплексной плоскости задана функция комплексной переменной, если задан закон, ставящий в соответствие каждой точке множества
некоторое комплексное число или совокупность комплексных чисел. Множество
будем называть множеством значений независимой переменной. Если каждой точке
ставится в соответствие точка
, то функция называется однозначной, если ставится в соответствие совокупность точек
, тогда функция называется многозначной. Символически указанное соответствие будем записывать в виде
(7.1)
Множество комплексных чисел , соответствующих всем
, называется множеством значений функции
.
Поскольку каждое комплексное число характеризуется парой действительных чисел, то задание комплексной функции комплексной переменной
эквивалентно заданию двух действительных переменных, что может быть записано в виде
(7.2)
Функции и
определены в области
плоскости действительных переменных
и
, соответствующей области
комплексной плоскости
. Функция
называется действительной, а функция
− мнимой частью функции
.
Геометрическая интерпретация понятия функции (7.1) комплексной переменной заключается в том, что равенством устанавливается закон соответствия между точками области
комплексной плоскости
и точками области
комплексной плоскости
. Очевидно, устанавливается и обратное соответствие, каждой точке
ставится в соответствие одни или несколько точек
области
. Это означает, что в области
задана (однозначная или многозначная) функция комплексной переменной
:
(7.3)
Функция (7.3) называется обратной функции (7.1). Область задания функции
является областью значений функции
.
Определение 7.1. Функция называется однолистной функцией в области
, если в различных точках
этой области она принимает различные значения.
§8. Основные элементарные функции комплексного переменного
8.1. Степенная функция
При является однозначной функцией, так как ставит в соответствие любому комплексному числу
число
.
Функция каждому значению
ставит в соответствие
различных чисел
;
.
Таким образом, определяет различных однозначных функций.
8.2. Показательная функция .
Поскольку , то
определяется соотношением
, то есть
,
.
Показательная функция обладает следующими свойствами:
1. Функция является однозначной;
2. Для вещественных значений определение совпадает с обычным определением функции;
3. Сохраняется основное свойство показательной функции:
4. Показательная функция не обращается в нуль ни в одной точке комплексной плоскости;
5. В комплексной плоскости показательная функция является периодической с чисто мнимым периодом :
.
8.3. Логарифмическая функция
Логарифмическая функция определяется как обратная к показательной функции:
1. Логарифмическая функция является многозначной, т. к. для любого
существует бесконечное множество значений
, у которых вещественная часть
, а мнимые части отличаются на слагаемое
.
2. При выделяют однозначную функцию
:
.
Функцию называют главным значением функции
.
3. Для положительных вещественных чисел главное значение логарифма совпадает со значениями логарифмической функции вещественной переменной и обладает всеми её свойствами.
4. Сохраняются основные свойства логарифмической функции:
;
;
.
8.4. Тригонометрические функции.
Функции ;
;
связаны формулами Эйлера:
;
,
откуда ;
.
Функция и
имеют только действительные нули:
,
.
Функции и
определятся равенствами:
,
.
Для любого вещественного функции совпадают с обычными тригонометрическими функциями
,
,
и
вещественного аргумента
.
Функции и
− периодические с действительным периодом
, а
и
− с периодом
. Сохраняются свойства четности и нечетности:
Функции комплексного переменного и
(в отличии от функции действительного переменного
и
) могут принимать сколь угодно большие по модулю значения (т. е. больше единицы).
8.5. Гиперболические функции.
Гиперболические функции в комплексной области определяются равенствами:
Для гиперболических функций выполняются все соотношения, связывающие гиперболические функции вещественного аргумента. В комплексной плоскости и
являются периодическими с чисто мнимым периодом
, а
и
− с периодом
.
Для гиперболических и тригонометрических функций имеют место следующие тождества:
8.6. Обратные тригонометрические и гиперболические функции.
Обратные тригонометрические и гиперболические функции ,
,
,
,
,
,
,
определятся как функции, обратные соответственно функциям
,
,
,
,
,
,
,
. Все эти функции являются многозначными и выражаются через логарифмические функции:
8.7. Общая функция
Общая функция , где
− любое комплексное число, определяется равенством
.
Функция многозначная, а её главным значением будет .
8.8. Общая показательная функция
Общая показательная функция , определяется равенством
.
Функция многозначная, её главным значением будет .
Примеры:
1. Представить комплексное число в алгебраической форме. Найти главное значение. Изобразить на комплексной плоскости .
По определению .
Все значения изображаются точками, расположенными на прямой
с периодом
. Главному значению (при
) соответствует точка с координатами
.
2. Вычислить .
По определению . Имеем
.
Вычислим
.
Окончательно имеем:
.
Главное значение имеем при , т. е.
.
3. Представить в алгебраической форме .
Воспользуемся формулой
, где
, тогда
.
.
.
;
.
§9. Предел и непрерывность функции комплексной переменной.
Пусть функция комплексной переменной определена в области
, содержащей точку
.
Определение 9.1. Число называется пределом функции
в точке
, если для любого
можно указать такое
, что для всех точек
и удовлетворяющих условию
, имеет место равенство
.
Предел записывается в виде .
Из определения предела функции комплексной переменной следует, что может стремится к
произвольным способом, следовательно, и функция при любом способе приближения к
должна принимать это значение.
Так как , а
, тогда из
, следует что
;
. Из этого следует, что все свойства пределов для функций двух действительных переменных справедливы и для функций комплексной переменной.
Определение 9.2. Функция называется непрерывной в точке
, если существует конечный предел
и его значение совпадает с
, то есть:
(9.1)
Так как и в действительном анализе обозначим и назовем эту величину приращением аргумента, тогда
назовем приращением функции. Условие непрерывности функции в этом случае может быть записано в следующем виде:
(9.2)
По аналогии с функцией действительного аргумента бесконечно малой можно назвать величину, имеющую своим пределом нуль. Значит непрерывность функции в точке имеется, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
Определение 9.3. Функция , непрерывная в каждой точке области
, называется непрерывной в этой области.
Все теоремы действительного анализа о непрерывных функциях справедливы и в комплексной области. Так:
Теорема 9.1. Сумма и произведение двух функций комплексной переменной и
непрерывных в области
, также являются непрерывными функциями в этой области; функция
непрерывна в тех точках области
, где
.
Теорема 9.2. Функция непрерывна в замкнутой области
, ограничена в этой области, то есть существует такая константа
, что для всех
.
Теорема 9.3. Функция непрерывна в замкнутой области
, принимает в ней свое максимальное и минимальное по модулю значение.