Лекция по теории функции комплексной переменной

Определение 6.3. Точка называется внешней точкой множества , если существует такая — окрестность , все точки которой не принадлежат множеству .

Определение 6.4. Точка называется граничной точкой множества , если в любой её — окрестности содержатся как точки, принадлежащие множеству , так и точки, не принадлежащие множеству .

Например, точка является граничной точкой множества .

Определение 6.5. Совокупность всех граничных точек образует границу множества и обозначается .

Простейшим примером границы области, очевидно, является кривая; однако граница области может состоять из дискретного множества точек. Например, множество точек образует на комплексной плоскости область, границей которой является точка .

Определение 6.6. Множество, полученное присоединением к области всех её граничных точек, называется замкнутой областью.

Замкнутую область обычно обозначают, ставя черту над символом области, например: , .

Единственным примером области, не имеющей границы, является расширенная плоскость.

Любая непрерывная замкнутая кривая без точек самопересечения (Жорданова кривая) делит плоскость на две области: содержащую бесконечно удаленную точку (внешнюю) и не содержащую (внутреннюю). Сама кривая является границей обеих областей.

Определение 6.7. Область называется односвязной, если внутренность любой Жордановой кривой, принадлежащей области, также принадлежит области.

Примером односвязной области является внутренняя часть круга – её границей служит окружность. Примером многосвязной ( — связной) области может служить область, граница которой состоит из Жордановых кривых: (рис.10).

Рис.10.

Определение 6.8. Если область целиком лежит внутри некоторого круга конечного радиуса, то она называется ограниченной. В противном случае – неограниченной.

ЛЕКЦИЯ № 3

§7. Функции комплексного переменного.

Будем считать, что на множестве комплексной плоскости задана функция комплексной переменной, если задан закон, ставящий в соответствие каждой точке множества некоторое комплексное число или совокупность комплексных чисел. Множество будем называть множеством значений независимой переменной. Если каждой точке ставится в соответствие точка , то функция называется однозначной, если ставится в соответствие совокупность точек , тогда функция называется многозначной. Символически указанное соответствие будем записывать в виде

(7.1)

Множество комплексных чисел , соответствующих всем , называется множеством значений функции .

Поскольку каждое комплексное число характеризуется парой действительных чисел, то задание комплексной функции комплексной переменной эквивалентно заданию двух действительных переменных, что может быть записано в виде

(7.2)

Функции и определены в области плоскости действительных переменных и , соответствующей области комплексной плоскости . Функция называется действительной, а функция − мнимой частью функции .

Геометрическая интерпретация понятия функции (7.1) комплексной переменной заключается в том, что равенством устанавливается закон соответствия между точками области комплексной плоскости и точками области комплексной плоскости . Очевидно, устанавливается и обратное соответствие, каждой точке ставится в соответствие одни или несколько точек области . Это означает, что в области задана (однозначная или многозначная) функция комплексной переменной :

(7.3)

Функция (7.3) называется обратной функции (7.1). Область задания функции является областью значений функции .

Определение 7.1. Функция называется однолистной функцией в области , если в различных точках этой области она принимает различные значения.

§8. Основные элементарные функции комплексного переменного

8.1. Степенная функция

При является однозначной функцией, так как ставит в соответствие любому комплексному числу число

.

Функция каждому значению ставит в соответствие различных чисел ; .

Таким образом, определяет различных однозначных функций.

8.2. Показательная функция .

Поскольку , то определяется соотношением , то есть

, .

Показательная функция обладает следующими свойствами:

1.  Функция является однозначной;

2.  Для вещественных значений определение совпадает с обычным определением функции;

3.  Сохраняется основное свойство показательной функции:

4.  Показательная функция не обращается в нуль ни в одной точке комплексной плоскости;

5.  В комплексной плоскости показательная функция является периодической с чисто мнимым периодом : .

8.3. Логарифмическая функция

Логарифмическая функция определяется как обратная к показательной функции:

1.  Логарифмическая функция является многозначной, т. к. для любого существует бесконечное множество значений , у которых вещественная часть , а мнимые части отличаются на слагаемое .

2.  При выделяют однозначную функцию : .

Функцию называют главным значением функции .

3.  Для положительных вещественных чисел главное значение логарифма совпадает со значениями логарифмической функции вещественной переменной и обладает всеми её свойствами.

4.  Сохраняются основные свойства логарифмической функции:

; ; .

8.4. Тригонометрические функции.

Функции ; ; связаны формулами Эйлера:

; ,

откуда ; .

Функция и имеют только действительные нули:

, .

Функции и определятся равенствами:

, .

Для любого вещественного функции совпадают с обычными тригонометрическими функциями , , и вещественного аргумента .

Функции и − периодические с действительным периодом , а и − с периодом . Сохраняются свойства четности и нечетности:

Функции комплексного переменного и (в отличии от функции действительного переменного и ) могут принимать сколь угодно большие по модулю значения (т. е. больше единицы).

8.5. Гиперболические функции.

Гиперболические функции в комплексной области определяются равенствами:

Для гиперболических функций выполняются все соотношения, связывающие гиперболические функции вещественного аргумента. В комплексной плоскости и являются периодическими с чисто мнимым периодом , а и − с периодом .

Для гиперболических и тригонометрических функций имеют место следующие тождества:

8.6. Обратные тригонометрические и гиперболические функции.

Обратные тригонометрические и гиперболические функции , , , , , , , определятся как функции, обратные соответственно функциям , , , , , , , . Все эти функции являются многозначными и выражаются через логарифмические функции:

8.7. Общая функция

Общая функция , где − любое комплексное число, определяется равенством .

Функция многозначная, а её главным значением будет .

8.8. Общая показательная функция

Общая показательная функция , определяется равенством

.

Функция многозначная, её главным значением будет .

Примеры:

1. Представить комплексное число в алгебраической форме. Найти главное значение. Изобразить на комплексной плоскости .

По определению .

Все значения изображаются точками, расположенными на прямой с периодом . Главному значению (при ) соответствует точка с координатами .

2. Вычислить .

По определению . Имеем .

Вычислим

.

Окончательно имеем:

.

Главное значение имеем при , т. е. .

3. Представить в алгебраической форме .

Воспользуемся формулой

, где , тогда

.

.

.

;

.

§9. Предел и непрерывность функции комплексной переменной.

Пусть функция комплексной переменной определена в области , содержащей точку .

Определение 9.1. Число называется пределом функции в точке , если для любого можно указать такое , что для всех точек и удовлетворяющих условию , имеет место равенство .

Предел записывается в виде .

Из определения предела функции комплексной переменной следует, что может стремится к произвольным способом, следовательно, и функция при любом способе приближения к должна принимать это значение.

Так как , а , тогда из , следует что ; . Из этого следует, что все свойства пределов для функций двух действительных переменных справедливы и для функций комплексной переменной.

Определение 9.2. Функция называется непрерывной в точке , если существует конечный предел и его значение совпадает с , то есть: (9.1)

Так как и в действительном анализе обозначим и назовем эту величину приращением аргумента, тогда назовем приращением функции. Условие непрерывности функции в этом случае может быть записано в следующем виде: (9.2)

По аналогии с функцией действительного аргумента бесконечно малой можно назвать величину, имеющую своим пределом нуль. Значит непрерывность функции в точке имеется, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Определение 9.3. Функция , непрерывная в каждой точке области , называется непрерывной в этой области.

Все теоремы действительного анализа о непрерывных функциях справедливы и в комплексной области. Так:

Теорема 9.1. Сумма и произведение двух функций комплексной переменной и непрерывных в области , также являются непрерывными функциями в этой области; функция непрерывна в тех точках области , где .

Теорема 9.2. Функция непрерывна в замкнутой области , ограничена в этой области, то есть существует такая константа , что для всех .

Теорема 9.3. Функция непрерывна в замкнутой области , принимает в ней свое максимальное и минимальное по модулю значение.