Учебные материалы по математике | Лекция по теории функции комплексной переменной | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Лекция по теории функции комплексной переменной


Определение 6.3. Точка называется внешней точкой множества , если существует такая — окрестность , все точки которой не принадлежат множеству .

Определение 6.4. Точка называется граничной точкой множества , если в любой её — окрестности содержатся как точки, принадлежащие множеству , так и точки, не принадлежащие множеству .

Например, точка является граничной точкой множества .

Определение 6.5. Совокупность всех граничных точек образует границу множества и обозначается .

Простейшим примером границы области, очевидно, является кривая; однако граница области может состоять из дискретного множества точек. Например, множество точек образует на комплексной плоскости область, границей которой является точка .

Определение 6.6. Множество, полученное присоединением к области всех её граничных точек, называется замкнутой областью.

Замкнутую область обычно обозначают, ставя черту над символом области, например: , .

Единственным примером области, не имеющей границы, является расширенная плоскость.

Любая непрерывная замкнутая кривая без точек самопересечения (Жорданова кривая) делит плоскость на две области: содержащую бесконечно удаленную точку (внешнюю) и не содержащую (внутреннюю). Сама кривая является границей обеих областей.

Определение 6.7. Область называется односвязной, если внутренность любой Жордановой кривой, принадлежащей области, также принадлежит области.

Примером односвязной области является внутренняя часть круга – её границей служит окружность. Примером многосвязной ( — связной) области может служить область, граница которой состоит из Жордановых кривых: (рис.10).

Рис.10.

Определение 6.8. Если область целиком лежит внутри некоторого круга конечного радиуса, то она называется ограниченной. В противном случае – неограниченной.

ЛЕКЦИЯ № 3

§7. Функции комплексного переменного.

Будем считать, что на множестве комплексной плоскости задана функция комплексной переменной, если задан закон, ставящий в соответствие каждой точке множества некоторое комплексное число или совокупность комплексных чисел. Множество будем называть множеством значений независимой переменной. Если каждой точке ставится в соответствие точка , то функция называется однозначной, если ставится в соответствие совокупность точек , тогда функция называется многозначной. Символически указанное соответствие будем записывать в виде

(7.1)

Множество комплексных чисел , соответствующих всем , называется множеством значений функции .

Поскольку каждое комплексное число характеризуется парой действительных чисел, то задание комплексной функции комплексной переменной эквивалентно заданию двух действительных переменных, что может быть записано в виде

(7.2)

Функции и определены в области плоскости действительных переменных и , соответствующей области комплексной плоскости . Функция называется действительной, а функция − мнимой частью функции .

Геометрическая интерпретация понятия функции (7.1) комплексной переменной заключается в том, что равенством устанавливается закон соответствия между точками области комплексной плоскости и точками области комплексной плоскости . Очевидно, устанавливается и обратное соответствие, каждой точке ставится в соответствие одни или несколько точек области . Это означает, что в области задана (однозначная или многозначная) функция комплексной переменной :

(7.3)

Функция (7.3) называется обратной функции (7.1). Область задания функции является областью значений функции .

Определение 7.1. Функция называется однолистной функцией в области , если в различных точках этой области она принимает различные значения.

§8. Основные элементарные функции комплексного переменного

8.1. Степенная функция

При является однозначной функцией, так как ставит в соответствие любому комплексному числу число

.

Функция каждому значению ставит в соответствие различных чисел ; .

Таким образом, определяет различных однозначных функций.

8.2. Показательная функция .

Поскольку , то определяется соотношением , то есть

, .

Показательная функция обладает следующими свойствами:

1.  Функция является однозначной;

2.  Для вещественных значений определение совпадает с обычным определением функции;

3.  Сохраняется основное свойство показательной функции:

4.  Показательная функция не обращается в нуль ни в одной точке комплексной плоскости;

5.  В комплексной плоскости показательная функция является периодической с чисто мнимым периодом : .

8.3. Логарифмическая функция

Логарифмическая функция определяется как обратная к показательной функции:

1.  Логарифмическая функция является многозначной, т. к. для любого существует бесконечное множество значений , у которых вещественная часть , а мнимые части отличаются на слагаемое .

2.  При выделяют однозначную функцию : .

Функцию называют главным значением функции .

3.  Для положительных вещественных чисел главное значение логарифма совпадает со значениями логарифмической функции вещественной переменной и обладает всеми её свойствами.

4.  Сохраняются основные свойства логарифмической функции:

; ; .

8.4. Тригонометрические функции.

Функции ; ; связаны формулами Эйлера:

; ,

откуда ; .

Функция и имеют только действительные нули:

, .

Функции и определятся равенствами:

, .

Для любого вещественного функции совпадают с обычными тригонометрическими функциями , , и вещественного аргумента .

Функции и − периодические с действительным периодом , а и − с периодом . Сохраняются свойства четности и нечетности:

Функции комплексного переменного и (в отличии от функции действительного переменного и ) могут принимать сколь угодно большие по модулю значения (т. е. больше единицы).

8.5. Гиперболические функции.

Гиперболические функции в комплексной области определяются равенствами:

Для гиперболических функций выполняются все соотношения, связывающие гиперболические функции вещественного аргумента. В комплексной плоскости и являются периодическими с чисто мнимым периодом , а и − с периодом .

Для гиперболических и тригонометрических функций имеют место следующие тождества:

8.6. Обратные тригонометрические и гиперболические функции.

Обратные тригонометрические и гиперболические функции , , , , , , , определятся как функции, обратные соответственно функциям , , , , , , , . Все эти функции являются многозначными и выражаются через логарифмические функции:

8.7. Общая функция

Общая функция , где − любое комплексное число, определяется равенством .

Функция многозначная, а её главным значением будет .

8.8. Общая показательная функция

Общая показательная функция , определяется равенством

.

Функция многозначная, её главным значением будет .

Примеры:

1. Представить комплексное число в алгебраической форме. Найти главное значение. Изобразить на комплексной плоскости .

По определению .

Все значения изображаются точками, расположенными на прямой с периодом . Главному значению (при ) соответствует точка с координатами .

2. Вычислить .

По определению . Имеем .

Вычислим

.

Окончательно имеем:

.

Главное значение имеем при , т. е. .

3. Представить в алгебраической форме .

Воспользуемся формулой

, где , тогда

.

.

.

;

.

§9. Предел и непрерывность функции комплексной переменной.

Пусть функция комплексной переменной определена в области , содержащей точку .

Определение 9.1. Число называется пределом функции в точке , если для любого можно указать такое , что для всех точек и удовлетворяющих условию , имеет место равенство .

Предел записывается в виде .

Из определения предела функции комплексной переменной следует, что может стремится к произвольным способом, следовательно, и функция при любом способе приближения к должна принимать это значение.

Так как , а , тогда из , следует что ; . Из этого следует, что все свойства пределов для функций двух действительных переменных справедливы и для функций комплексной переменной.

Определение 9.2. Функция называется непрерывной в точке , если существует конечный предел и его значение совпадает с , то есть: (9.1)

Так как и в действительном анализе обозначим и назовем эту величину приращением аргумента, тогда назовем приращением функции. Условие непрерывности функции в этом случае может быть записано в следующем виде: (9.2)

По аналогии с функцией действительного аргумента бесконечно малой можно назвать величину, имеющую своим пределом нуль. Значит непрерывность функции в точке имеется, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Определение 9.3. Функция , непрерывная в каждой точке области , называется непрерывной в этой области.

Все теоремы действительного анализа о непрерывных функциях справедливы и в комплексной области. Так:

Теорема 9.1. Сумма и произведение двух функций комплексной переменной и непрерывных в области , также являются непрерывными функциями в этой области; функция непрерывна в тех точках области , где .

Теорема 9.2. Функция непрерывна в замкнутой области , ограничена в этой области, то есть существует такая константа , что для всех .

Теорема 9.3. Функция непрерывна в замкнутой области , принимает в ней свое максимальное и минимальное по модулю значение.

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод