Лекция по теории функции комплексной переменной
Определение 6.3. Точка называется внешней точкой множества , если существует такая — окрестность , все точки которой не принадлежат множеству .
Определение 6.4. Точка называется граничной точкой множества , если в любой её — окрестности содержатся как точки, принадлежащие множеству , так и точки, не принадлежащие множеству .
Например, точка является граничной точкой множества .
Определение 6.5. Совокупность всех граничных точек образует границу множества и обозначается .
Простейшим примером границы области, очевидно, является кривая; однако граница области может состоять из дискретного множества точек. Например, множество точек образует на комплексной плоскости область, границей которой является точка .
Определение 6.6. Множество, полученное присоединением к области всех её граничных точек, называется замкнутой областью.
Замкнутую область обычно обозначают, ставя черту над символом области, например: , .
Единственным примером области, не имеющей границы, является расширенная плоскость.
Любая непрерывная замкнутая кривая без точек самопересечения (Жорданова кривая) делит плоскость на две области: содержащую бесконечно удаленную точку (внешнюю) и не содержащую (внутреннюю). Сама кривая является границей обеих областей.
Определение 6.7. Область называется односвязной, если внутренность любой Жордановой кривой, принадлежащей области, также принадлежит области.
Примером односвязной области является внутренняя часть круга – её границей служит окружность. Примером многосвязной ( — связной) области может служить область, граница которой состоит из Жордановых кривых: (рис.10).
Рис.10.
Определение 6.8. Если область целиком лежит внутри некоторого круга конечного радиуса, то она называется ограниченной. В противном случае – неограниченной.
ЛЕКЦИЯ № 3
§7. Функции комплексного переменного.
Будем считать, что на множестве комплексной плоскости задана функция комплексной переменной, если задан закон, ставящий в соответствие каждой точке множества некоторое комплексное число или совокупность комплексных чисел. Множество будем называть множеством значений независимой переменной. Если каждой точке ставится в соответствие точка , то функция называется однозначной, если ставится в соответствие совокупность точек , тогда функция называется многозначной. Символически указанное соответствие будем записывать в виде
(7.1)
Множество комплексных чисел , соответствующих всем , называется множеством значений функции .
Поскольку каждое комплексное число характеризуется парой действительных чисел, то задание комплексной функции комплексной переменной эквивалентно заданию двух действительных переменных, что может быть записано в виде
(7.2)
Функции и определены в области плоскости действительных переменных и , соответствующей области комплексной плоскости . Функция называется действительной, а функция − мнимой частью функции .
Геометрическая интерпретация понятия функции (7.1) комплексной переменной заключается в том, что равенством устанавливается закон соответствия между точками области комплексной плоскости и точками области комплексной плоскости . Очевидно, устанавливается и обратное соответствие, каждой точке ставится в соответствие одни или несколько точек области . Это означает, что в области задана (однозначная или многозначная) функция комплексной переменной :
(7.3)
Функция (7.3) называется обратной функции (7.1). Область задания функции является областью значений функции .
Определение 7.1. Функция называется однолистной функцией в области , если в различных точках этой области она принимает различные значения.
§8. Основные элементарные функции комплексного переменного
8.1. Степенная функция
При является однозначной функцией, так как ставит в соответствие любому комплексному числу число
.
Функция каждому значению ставит в соответствие различных чисел ; .
Таким образом, определяет различных однозначных функций.
8.2. Показательная функция .
Поскольку , то определяется соотношением , то есть
, .
Показательная функция обладает следующими свойствами:
1. Функция является однозначной;
2. Для вещественных значений определение совпадает с обычным определением функции;
3. Сохраняется основное свойство показательной функции:
4. Показательная функция не обращается в нуль ни в одной точке комплексной плоскости;
5. В комплексной плоскости показательная функция является периодической с чисто мнимым периодом : .
8.3. Логарифмическая функция
Логарифмическая функция определяется как обратная к показательной функции:
1. Логарифмическая функция является многозначной, т. к. для любого существует бесконечное множество значений , у которых вещественная часть , а мнимые части отличаются на слагаемое .
2. При выделяют однозначную функцию : .
Функцию называют главным значением функции .
3. Для положительных вещественных чисел главное значение логарифма совпадает со значениями логарифмической функции вещественной переменной и обладает всеми её свойствами.
4. Сохраняются основные свойства логарифмической функции:
; ; .
8.4. Тригонометрические функции.
Функции ; ; связаны формулами Эйлера:
; ,
откуда ; .
Функция и имеют только действительные нули:
, .
Функции и определятся равенствами:
, .
Для любого вещественного функции совпадают с обычными тригонометрическими функциями , , и вещественного аргумента .
Функции и − периодические с действительным периодом , а и − с периодом . Сохраняются свойства четности и нечетности:
Функции комплексного переменного и (в отличии от функции действительного переменного и ) могут принимать сколь угодно большие по модулю значения (т. е. больше единицы).
8.5. Гиперболические функции.
Гиперболические функции в комплексной области определяются равенствами:
Для гиперболических функций выполняются все соотношения, связывающие гиперболические функции вещественного аргумента. В комплексной плоскости и являются периодическими с чисто мнимым периодом , а и − с периодом .
Для гиперболических и тригонометрических функций имеют место следующие тождества:
8.6. Обратные тригонометрические и гиперболические функции.
Обратные тригонометрические и гиперболические функции , , , , , , , определятся как функции, обратные соответственно функциям , , , , , , , . Все эти функции являются многозначными и выражаются через логарифмические функции:
8.7. Общая функция
Общая функция , где − любое комплексное число, определяется равенством .
Функция многозначная, а её главным значением будет .
8.8. Общая показательная функция
Общая показательная функция , определяется равенством
.
Функция многозначная, её главным значением будет .
Примеры:
1. Представить комплексное число в алгебраической форме. Найти главное значение. Изобразить на комплексной плоскости .
По определению .
Все значения изображаются точками, расположенными на прямой с периодом . Главному значению (при ) соответствует точка с координатами .
2. Вычислить .
По определению . Имеем .
Вычислим
.
Окончательно имеем:
.
Главное значение имеем при , т. е. .
3. Представить в алгебраической форме .
Воспользуемся формулой
, где , тогда
.
.
.
;
.
§9. Предел и непрерывность функции комплексной переменной.
Пусть функция комплексной переменной определена в области , содержащей точку .
Определение 9.1. Число называется пределом функции в точке , если для любого можно указать такое , что для всех точек и удовлетворяющих условию , имеет место равенство .
Предел записывается в виде .
Из определения предела функции комплексной переменной следует, что может стремится к произвольным способом, следовательно, и функция при любом способе приближения к должна принимать это значение.
Так как , а , тогда из , следует что ; . Из этого следует, что все свойства пределов для функций двух действительных переменных справедливы и для функций комплексной переменной.
Определение 9.2. Функция называется непрерывной в точке , если существует конечный предел и его значение совпадает с , то есть: (9.1)
Так как и в действительном анализе обозначим и назовем эту величину приращением аргумента, тогда назовем приращением функции. Условие непрерывности функции в этом случае может быть записано в следующем виде: (9.2)
По аналогии с функцией действительного аргумента бесконечно малой можно назвать величину, имеющую своим пределом нуль. Значит непрерывность функции в точке имеется, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
Определение 9.3. Функция , непрерывная в каждой точке области , называется непрерывной в этой области.
Все теоремы действительного анализа о непрерывных функциях справедливы и в комплексной области. Так:
Теорема 9.1. Сумма и произведение двух функций комплексной переменной и непрерывных в области , также являются непрерывными функциями в этой области; функция непрерывна в тех точках области , где .
Теорема 9.2. Функция непрерывна в замкнутой области , ограничена в этой области, то есть существует такая константа , что для всех .
Теорема 9.3. Функция непрерывна в замкнутой области , принимает в ней свое максимальное и минимальное по модулю значение.