Лекция по алгебре

Лекция 1.

Введение

Слова «заданные на нём» означают, что операцию можно проделать с любыми элементами этого множества, и результат принадлежит тому же множеству.

Примеры алгебр и не алгебр на этих множествах

1) <N, +> алгебра; 2) <N, -> не алгебра;

3) <Z, -> алгебра; 4) <Z, *> алгебра;

5) <Z, :> не алгебра; 6) <Q, :> алгебра;

7) <Q, > не алгебра; 8) <R, +,*> алгебра (арифметика).

Все перечисленные алгебры бесконечны.

Существуют и конечные алгебры:

а1

ak=ai*aj, k=mod2(i+j)

а0 а2

Примеры: масса тела, объём, температура и т. п.

Примеры: сила, скорость, перемещение,…

Вектор это направленный отрезок.

У него есть длина и направление.

Два вектора одной длины, получающиеся один из другого параллельным переносом, считаются равными.

Нуль вектором называется вектор, у которого начало и конец совпадают.

Единичным называется вектор, у которого длина равна единице.

Если задана плоскость, то любой вектор на ней называется двумерным. Вектор в пространстве называется трёхмерным.

Ортогональная проекция.

Есть вектор а (2-ух — или 3-ёхмерный) и направленная прямая l

праl=|а| соs(a, l)

Проекция имеет знак

Следствия:

1) огональная проекция суммы векторов равна сумме их ортогональных проекций;

2) если проекции двух коллинеарных векторов равны, то равны и сами векторы;

3) если вектор перпендикулярен прямой, то его ортогональная проекция на эту прямую равна нулю;

4) если вектор параллелен и сонапроавлен прямой, то его ортогональная проекция на эту прямую равна его модулю;

5) если вектор параллелен и противоположно направлен прямой, то его ортогональная проекция на эту прямую отрицательна и равна по величине его модулю.

Рассмотрим две взаимно перпендикулярные прямые OX и OY на плоскости. Их пересечение назовём началом координат. Пусть вектор а, выходит из начала координат. По теореме Пифагора квадрат его длины равен сумме квадратов его ортогональных проекций ax и ay на заданные прямые. |a|2=ax2+ay2

Двумерный вектор можно задать его координатами а=(ах, ау). aR2

Аналогично вводится система координат для трёхмерных векторов. b=(bx, by, bz) bR3

Видим, что двумерный вектор имеет две координаты, то есть упорядоченную пару скалярных величин, а трёхмерный вектор

– три координаты, то есть упорядоченную тройку скалярных величин.

Теперь, если мы рассмотрим любую упорядоченную пару скалярных величин, то независимо от физической сущности этих величин, мы можем сопоставить этой паре вектор на плоскости. Соответственно для упорядоченной тройки скалярных величин можно однозначно указать вектор в трёхмерном пространстве.

В заданной системе из n координат можно ввести другое определение вектора.

На множестве векторов одной размерности можно ввести операцию сложения

Примеры для двумерныхвекторов

(1; 2) + (3; 4) = (4; 6)

(a; b) + (c; d) = (a+c; b+d)

Результат сложения двух векторов одной размерности это вектор той же размерности, следовательно, <Rn, +> — это алгебра.

Ещё можно ввести операцию умножения вектора на скаляр, то есть на число, результат будет вектор той же размерности.

λ(a; b)=( λa; λb)

То есть, это то же алгебраическая операция.

Линейная комбинация векторов.

Линейная комбинация векторов есть вектор той же размерности.

Примеры

λ1(a; b) + λ2(c; d) = (λ1a+ λ2c; λ1b+ λ2d)

2(3; 4) + 5(1; 6) = (6+5; 8+30) = (11; 38)

Утверждение.

Два коллинеарных, то есть лежащих на одной прямой, вектора размерности больше или равной двум, всегда линейно зависимы.

Док-во: они лежат на одной прямой, следовательно из координаты пропорциональны (пусть с коэффициентом к). Тогда линейная комбинация

меньший вектор умн на к минус больший вектор

равна нулю.

Чтд.

Лекция 2.

Пример:

a=(1,2,3), b=(2,4,6), c=(1,0,0), d=(0,1,0)

в этом множестве b=2а, то есть они линейно зависимы, следовательно вся система {а, b, с, d} тоже линейно зависима. В качестве базиса можно взять {а, с, d} или {b, с, d} , так как и та и другая системы линейно независимы и максимальны по включению.

Если выбран базис, то любой элемент системы можно представить в виде линейной комбинации элементов базиса. Коэффициенты этой линейной комбинации называются координатами этого элемента в этом базисе.

Пример:

x=(3;1); a1=(1;1); a2=(-1;1)

x=2a1-a2 xa=(2;1)

Базис, в котором все элементы единичны и ортогональны называется ортонормированным.

Координаты вектора в ортонормированном базисе – это проекции этого вектора на соответствующие оси координат.

Стандартный базис в пространстве R2 это {i, j},

cos2 α +cos2 β =cos2 α +sin2 α =1

Стандартный базис в R3 — {i, j, k}.

cos2 α +cos2 β+cos2 γ =1

Напомню, что базис – это не только множество линейно независимых векторов, но это упорядоченное множество.