Лекции по дифференциальным уравнениям

Лекции по дифференциальным уравнениям.

Введение.

Опр. ОДУ порядка n, где n _N, называется уравнение вида — (1)

х – независимая переменная.

у – зависимая переменная.

у=у(х) – искомая функция.

y’, y′′, …, — gпроизводные искомой функции.

F – заданная функция.

Порядок уравнения – порядок старшей производной, которая присутствует в уравнении.

Интегрирование – решение уравнения.

График любого решения ДУ – интегральная кривая — уравнение, разрешенное относительно старшей производной.

у’=f(x, y) – (2) – уравнение первого порядка разрешённое относительно производной.

Решение ДУ называе6тся полученным в квадратурах, если оно выражено через элементарные функции посредствам арифметических операций, операции образования сложенной функции и операции нахождения интеграла. При этом решение может быть функцией, заданной явной, неявной, параметрической, а неопределенные интегралы могут быть не берущимися.

Начальным условием для (2) называется следующее дополнительное условие у(х0)=у0 – (3), (х0,у0) – точка из f(x, y).

(2), (3) – задача Коши.

Важнейшие случаи уравнения 1-го порядка, разрешенного относительно производной.

(1) – нормальная форма

(1’)

(1”)

(1(4)) – дифференциальная форма.

1. Уравнение с разделенными переменными:

2. Уравнение с разделяющимися переменными:

проверить эти случаи после интегрирования

g(y)=0 — ?

3. Уравнение вида:

у=у(х) — ?

z=z(x) — ?

z=ax+bx=ax+by(x)

4. Однородное уравнение:

( — ?)

5. Уравнение вида:

— решение системы

,

-?

6. Уравнение в полных дифференциалах.

Определение: Уравнение – (1) называется уравнением в полных дифференциалах, если такая, что .

— решение уравнения

, — непрерывно дифференцируемы.

(1) рассмотрим в односвязной области либо совокупности областей.

Определение: называется интегрирующим множителем для функции (1), если после умножения на эту функцию, уравнение становится уравнением в полных дифференциалах.

7. Линейные уравнения:

— ?

— коэффициент заданы

— свободный член

— линейный оператор

при — уравнение однородно

при — не однородно.

конкретная первообразная

1). Метод Лагранжа (метод вариаций произвольной постоянной):

2). Метод неоднородных коэффициентов:

а)

квазимногочлен (α=0 — многочлен

где

— ?

при

б)

— ?

8. Уравнение Бернулли:

(?)

( — ?)

9. Уравнение Риккати:

— частное решение

( — ?)

— ?

Уравнения 1-го порядка, не разрешенные относительно производной.

(1)

1) (неполное уравнение, разрешенное относительно х)

— параметр

2)

3)

— ?

4) (2)

— ?

Частный случай (2):

а) — уравнение Клеро

— общее решение уравнения Клеро

особое решение уравнения Клеро

б) — уравнение Лагранжа

|:

— ?

Уравнения высших порядков:

(1)

(2)

— начальные условия

(1), (2) – задача Коши

Теорема: Пусть является непрерывными функциями . Тогда в точке решение задачи Коши (1), (2).

(2)

1)

…

n

2)

…

3)

(3)

(-?)

…

4)

(-?)

5) частный случай уравнения (3) т свойство, однородности степени относительно переменной .

(-?)

…

Подставим в (3)

6) в уравнении (3) левую часть можно записать:

— (3) – уравнение точных производных.

в общем случае нельзя найти функцию Ф.

Приложения дифференциальных уравнений (задача о форме отражающей поверхности):

Определить форму зеркала, которое собирает лучи в одну точку.

MQ — касательная;

Система дифференциальных уравнений.

(1)

-?

(2) – начальные условия

(1), (2) – задачи Коши

Теорема: в некоторой окрестности является непрерывной. в некоторой окрестности — решение единственное (1), (2).

связь между (1) и — (3) уравнения (3) можно заменить на (1).

…

От (1) к (3) не всегда можно сделать

будем исключать останется соотношение с — метод исключения.

Определение. непрерывный дифференциал называется интегралом системы (1), если её дифференциальное вычисление в силу этой системы соответственно равно нулю.

Определение. Первым интегралом системы (1) называется соотношение , , — интеграл.

Общий интеграл (1) – совокупность и её первых интегралов, для которых соответственно интегралы не зависимы.

…

Система (1) считается решенной, если найден её общий интеграл.

(1) – называется системой в нормальной форме.

Также можно записать в симметрической форме:

— (4)

Для перехода к (1) приравниваем всё к последнему:

Для нахождения общего интеграла проще решать систему в симметричной форме и использовать свойство равных дробей:

Уравнения в частных производных первого порядка.

(1)

— ?

1. Линейное однородное уравнение:

(2)

— коэффициенты уравнения (2) определены в n-мерном пространстве.

Свойство: одна из этих функций в ноль не обращается.

Определение. Системой дифференциальных уравнений в симметричной форме соответствует (2) и называется следом системы.

(3)

(3’)

Теорема 1: является интегралом (3), тогда она является решением уравнения (2).

Доказательство:

1) — интеграл (3)

— решение (2).

2) — решение уравнения (2)

Теорема 2: формула общего решения (2) имеет вид (5).

— независимые интегралы (3)

— производная дифференциальная функция.

Доказательство:

— некоторое решение уравнения (2)

доказать , что

— фиксируем

— ?

Поскольку , то система имеет не нулевое решение

— зависимы

5. Квазилинейное уравнение.

— (6)

(7)

(7) – решение (6)

— ?

— (8)

(2), (6) накладываем начальное условие.

(9)

(2), (9) – задача Коши

(6), (9) – задача Коши

Схема решения задачи Коши:

1) Найти систему (3).

2)

…

…

…

3)

Схема решения задачи Коши:

1) — интегралы в сим. (8)

2)

…

3)