Кзаменационная программа по тфкп

Экзаменационная программа по ТФКП, математика, 3 курс, 5 семестр

1.  Комплексные числа

Комплексные числа и действия с ними, модуль и аргумент комплексного числа, формы записи комплексных чисел. Формула Муавра. Решение уравнений вида .

Расширенная комплексная плоскость . Последовательность комплексных чисел, ее предел. Критерий существования конечного предела последовательности комплексных чисел. Критерий Коши сходимости последовательности комплексных чисел. Свойства сходящихся последовательностей, достаточные условия сходимости последовательности комплексных чисел. Бесконечно большие последовательности, их свойства.

2.  Функция комплексного переменного (ф. к.п.)

Понятие ф. к.п. (однозначной). Предел ф. к.п. Критерий существования конечного предела ф. к.п. (в терминах ее действительной и мнимой частей). Свойства ф. к.п., имеющих конечный предел в точке.

Непрерывность ф. к.п. в точке (на множестве). Критерий непрерывности ф. к.п. (в терминах ее действительной и мнимой частей). Теорема о непрерывности суперпозиции функций. Равномерная непрерывность ф. к.п. на множестве. Теорема о равномерной непрерывности функции на замкнутом множестве.

3.  Дифференцируемость ф. к.п.

Определение производной ф. к.п. в точке, определение дифференцируемой ф. к.п. в точке. Критерий дифференцируемости ф. к.п. в точке (через представление с остаточным членом). Теорема о необходимом условии дифференцируемости ф. к.п. в точке. Теорема о дифференцируемости суперпозиции функций. Критерий дифференцируемости ф. к.п. в точке, условие Коши-Римана. Следствие о дифференцируемости функции в области. Дифференцируемость функции в , недифференцируемость в функций: , .

4.  Кривые в . Интегрирование ф. к.п.

Непрерывная кривая в , спрямляемая кривая, длина спрямляемой кривой. Гладкая, кусочно-гладкая кривая, спрямляемость гладкой кривой, формула вычисления ее длины.

Определение интеграла от ф. к.п. по спрямляемой кривой. Связь интеграла от ф. к.п. с криволинейными интегралами 2-го рода. Сведение интеграла от ф. к.п. по непрерывно дифференцируемой кривой к определенному интегралу. Вычисление (по определению) интегралов от функций f(z)=1 и f(z)=z.

Свойства интеграла от ф. к.п.: линейность; интеграл по противоположной кривой; аддитивность; оценка сверху модуля интеграла.

Вычисление интеграла , .

5.  Интегральные теоремы.

Простая (жорданова) кривая. Теорема Жордана (б/д). Область, односвязная (многосвязная) область. Лемма об аппроксимации. Функция, аналитическая в области (в точке), функция, моногенная в точке. Интегральная теорема Коши. Следствие о независимости интеграла от пути интегрирования.

Понятие первообразной ф. к.п. в области. Теорема о существовании первообразной. Теорема об описании множества первообразных, формула Ньютона-Лейбница. Интегральная теорема Коши для составного контура.

Интегральная формула Коши, следствие о среднем значении. Интегральная формула Коши для составного контура.

Интеграл типа Коши. Теорема о дифференцируемости интеграла по параметру. Теорема о бесконечной дифференцируемости интеграла типа Коши. Следствия: интегральная формула Коши для производных; об аналитичности производной аналитичной функции.

Теорема Морера.

6.  Ряды

Числовые ряды с комплексными членами, их сходимость, расходимость, абсолютная сходимость. Свойства рядов. Критерий Коши сходимости числового ряда.

Функциональная последовательность; сходимость в точке, на множестве; равномерная сходимость на множестве, внутри области. Критерий равномерной сходимости функциональной последовательности на множестве. Теорема о предельном переходе под знаком интеграла для функциональной последовательности.

Функциональный ряд, его сходимость, абсолютная сходимость в точке, на множестве; равномерная сходимость на множестве, внутри области. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда.

Теорема о непрерывности суммы функционального ряда. Теорема Вейерштрасса о равномерно сходящихся функциональных последовательностях, следствие о равномерно сходящихся функциональных рядах. Теорема о почленном интегрировании функционального ряда.

Пример последовательности, равномерно сходящейся внутри области и не являющейся равномерно сходящейся в области.

7.  Степенные ряды.

Теорема о радиусе сходимости степенного ряда. Теорема Абеля. Функциональные свойства степенных рядов: аналитичность его суммы; почленное дифференцирование; почленное интегрирование; выражение коэффициентов степенного ряда через его сумму. Примеры степенных рядов с суммами: , sin z, cos z, sh z, ch z, ln(1+z). Теорема Коши о разложении аналитической функции в ряд Тейлора. Теорема о единственности разложения аналитической функции в степенной ряд.

Неравенство Коши для коэффициентов степенного ряда. Теорема Лиувилля. Основная теорема алгебры.

8.  Нули аналитической функции. Теорема единственности.

Нуль кратности m аналитической функции. Теорема о представлении аналитической функции в окрестности нуля. Теорема единственности для аналитических функций, следствие ( для любого ).

9.  Ряд Лорана.

Ряд Лорана, его естественная область определения. Теорема о разложении аналитической функции в ряд Лорана. Теорема о единственности разложения аналитической функции в ряд Лорана. Неравенство Коши для коэффициентов ряда Лорана.

10. Изолированные особые точки однозначного характера (ИОТОХ)

Определение ИОТОХ. Типы ИОТОХ в (по ряду Лорана в их окрестностях). Критерий для УОТ. Теорема о представлении аналитической функции в окрестностях ее полюса. Критерий для полюса в терминах предела. Критерий для СОТ.

Классификация для бесконечно удаленной точки как ИОТОХ (по ряду Лорана в ее окрестности). Критерии того, что бесконечно удаленная точка является: УОТ; полюсом; полюсом порядка p ; СОТ.

Главная и правильная части ряда Лорана в окрестности ИОТОХ.

Теорема Сохотского. Теорема Пикара (б/д). Пример функции, имеющей исключительное пикаровское значение.

11. Вычеты

Определение вычета в конечной ИОТОХ и в . Способы вычисления вычетов в конечной ИОТОХ: вычет как коэффициент ряда Лорана; вычет в УОТ; вычет в полюсе; вычет в простом полюсе функции Способы вычисления вычетов в : вычет, как коэффициент ряда Лорана; вычет в УОТ; вычет в полюсе. Вычет для дробно-рациональной функции. Основная теорема вычетов. Теорема о полной сумме вычетов.