Учебные материалы по математике | Квадратный трехчлен | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Квадратный трехчлен


Повторение по алгебре

Квадратный трехчлен

Квадратный трехчлен не имеет корней при ( — дискриминант), имеет два различных корня при и два совпадающих корня при . При условии напомним формулу корней квадратного трехчлена:

или , где .

Если у квадратного уравнения имеются корни и , то верны следующие равенства:

(теорема Виета)

Разложение на множители: .

Метод интервалов.

Пример 1. Решить неравенство: .

Решение. Выражение, находящееся в первой скобке, равно нулю при , больше нуля при и меньше нуля при . Для выражения, стоящего во второй скобке, таким значением, при прохождении через которое меняется его знак, является , а для выражения в третьей скобке – . Нанесем эти точки на числовую ось, разбив ее при этом на промежутки (рис. 1). Выберем любой из них. Ясно, что для каждой точки внутри

х

-7

Рис. 1

этого промежутка левая часть неравенства имеет один и тот же знак. В самих нанесенных точках значение левой части неравенства равно нулю. Расставим знаки в указанные промежутки (рис. 2). Для этого достаточно проверить знак выражения в любой точке промежутка. Получаем ответ: .

— — + — х

-7

Рис. 2

Заметим, что в промежутках вокруг числа -7 знак выражения один и тот же, поскольку скобка, корнем которой является это число, входит в выражение во второй степени. Это означает, что знак выражения изменяется дважды, то есть сохраняется.

Ответ: .

Пример 2. Решить неравенство: .

Решение. Точками возможной перемены знака для левой части неравенства являются ; ;;. Нанесем их на числовую ось (рис. 3), изображая нули числителя закрашенными, а нули знаменателя – выколотыми (знаменатель не может равняться нулю, а равенство нулю числителя в данном случае допустимо, поскольку неравенство нестрогое). Расставим знаки и получим ответ.

+ — — + — х

3 4

Рис. 3

Ответ: .

Пример 3. Решить неравенство: .

Решение. Разложим на множители квадратные трехчлены: . Тогда . Применим метод интервалов (рис. 4).

+ + — + х

-1 3

Рис. 4

Ответ: .

Пример 4. Решить неравенство: .

Решение. Ошибочно было бы умножить обе части неравенства на знаменатель левой части без учета его знака и разбора возможных вариантов. Метод интервалов позволяет справиться с неравенством относительно просто. Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю: или . Решим полученное неравенство методом интервалов (рис. 5).

— + — х

1 3

Рис. 5

Ответ: .

1. Разложите на множители.

1) ;

7) ;

13) ;

19) ;

2) ;

8) ;

14) ;

20) ;

3) ;

9) ;

15) ;

21) ;

4) ;

10) ;

16) ;

22) ;

5) ;

11) ;

17) ;

23) ;

6) ;

12) ;

18) ;

24) ;

2. Решите неравенства:

1. .

3. .

5. .

7. .

9. .

11. .

2. .

4. .

6. .

8. .

10. .

12. .

13. .

16. .

19. .

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод