Учебные материалы по математике | Квадратный трехчлен

Повторение по алгебре

Квадратный трехчлен

Квадратный трехчлен не имеет корней при ( — дискриминант), имеет два различных корня при и два совпадающих корня при . При условии напомним формулу корней квадратного трехчлена:

или , где .

Если у квадратного уравнения имеются корни и , то верны следующие равенства:

(теорема Виета)

Разложение на множители: .

Метод интервалов.

Пример 1. Решить неравенство: .

Решение. Выражение, находящееся в первой скобке, равно нулю при , больше нуля при и меньше нуля при . Для выражения, стоящего во второй скобке, таким значением, при прохождении через которое меняется его знак, является , а для выражения в третьей скобке – . Нанесем эти точки на числовую ось, разбив ее при этом на промежутки (рис. 1). Выберем любой из них. Ясно, что для каждой точки внутри

-7

Рис. 1

этого промежутка левая часть неравенства имеет один и тот же знак. В самих нанесенных точках значение левой части неравенства равно нулю. Расставим знаки в указанные промежутки (рис. 2). Для этого достаточно проверить знак выражения в любой точке промежутка. Получаем ответ: .

— — + — х

-7

Рис. 2

Заметим, что в промежутках вокруг числа -7 знак выражения один и тот же, поскольку скобка, корнем которой является это число, входит в выражение во второй степени. Это означает, что знак выражения изменяется дважды, то есть сохраняется.

Ответ: .

Пример 2. Решить неравенство: .

Решение. Точками возможной перемены знака для левой части неравенства являются ; ;;. Нанесем их на числовую ось (рис. 3), изображая нули числителя закрашенными, а нули знаменателя – выколотыми (знаменатель не может равняться нулю, а равенство нулю числителя в данном случае допустимо, поскольку неравенство нестрогое). Расставим знаки и получим ответ.

+ — — + — х

3 4

Рис. 3

Ответ: .

Пример 3. Решить неравенство: .

Решение. Разложим на множители квадратные трехчлены: . Тогда . Применим метод интервалов (рис. 4).

+ + — + х

-1 3

Рис. 4

Ответ: .

Пример 4. Решить неравенство: .

Решение. Ошибочно было бы умножить обе части неравенства на знаменатель левой части без учета его знака и разбора возможных вариантов. Метод интервалов позволяет справиться с неравенством относительно просто. Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю: или . Решим полученное неравенство методом интервалов (рис. 5).

— + — х

1 3

Рис. 5

Ответ: .

1. Разложите на множители.

1) ;	7) ;	13) ;	19) ;
2) ;	8) ;	14) ;	20) ;
3) ;	9) ;	15) ;	21) ;
4) ;	10) ;	16) ;	22) ;
5) ;	11) ;	17) ;	23) ;
6) ;	12) ;	18) ;	24) ;

2. Решите неравенства:

1. .

3. .

5. .

7. .

9. .

11. .

2. .

4. .

6. .

8. .

10. .

12. .

13. .

16. .

19. .

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.