Квадратный трехчлен
Повторение по алгебре
Квадратный трехчлен
Квадратный трехчлен не имеет корней при ( — дискриминант), имеет два различных корня при и два совпадающих корня при . При условии напомним формулу корней квадратного трехчлена:
или , где .
Если у квадратного уравнения имеются корни и , то верны следующие равенства:
(теорема Виета)
Разложение на множители: .
Метод интервалов.
Пример 1. Решить неравенство: .
Решение. Выражение, находящееся в первой скобке, равно нулю при , больше нуля при и меньше нуля при . Для выражения, стоящего во второй скобке, таким значением, при прохождении через которое меняется его знак, является , а для выражения в третьей скобке – . Нанесем эти точки на числовую ось, разбив ее при этом на промежутки (рис. 1). Выберем любой из них. Ясно, что для каждой точки внутри
х
-7
Рис. 1
этого промежутка левая часть неравенства имеет один и тот же знак. В самих нанесенных точках значение левой части неравенства равно нулю. Расставим знаки в указанные промежутки (рис. 2). Для этого достаточно проверить знак выражения в любой точке промежутка. Получаем ответ: .
— — + — х
-7
Рис. 2
Заметим, что в промежутках вокруг числа -7 знак выражения один и тот же, поскольку скобка, корнем которой является это число, входит в выражение во второй степени. Это означает, что знак выражения изменяется дважды, то есть сохраняется.
Ответ: .
Пример 2. Решить неравенство: .
Решение. Точками возможной перемены знака для левой части неравенства являются ; ;;. Нанесем их на числовую ось (рис. 3), изображая нули числителя закрашенными, а нули знаменателя – выколотыми (знаменатель не может равняться нулю, а равенство нулю числителя в данном случае допустимо, поскольку неравенство нестрогое). Расставим знаки и получим ответ.
+ — — + — х
3 4
Рис. 3
Ответ: .
Пример 3. Решить неравенство: .
Решение. Разложим на множители квадратные трехчлены: . Тогда . Применим метод интервалов (рис. 4).
+ + — + х
-1 3
Рис. 4
Ответ: .
Пример 4. Решить неравенство: .
Решение. Ошибочно было бы умножить обе части неравенства на знаменатель левой части без учета его знака и разбора возможных вариантов. Метод интервалов позволяет справиться с неравенством относительно просто. Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю: или . Решим полученное неравенство методом интервалов (рис. 5).
— + — х
1 3
Рис. 5
Ответ: .
1. Разложите на множители.
1) ; |
7) ; |
13) ; |
19) ; |
2) ; |
8) ; |
14) ; |
20) ; |
3) ; |
9) ; |
15) ; |
21) ; |
4) ; |
10) ; |
16) ; |
22) ; |
5) ; |
11) ; |
17) ; |
23) ; |
6) ; |
12) ; |
18) ; |
24) ; |
2. Решите неравенства:
1. . 3. . 5. . 7. . 9. . 11. . |
2. . 4. . 6. . 8. . 10. . 12. . |
13. . 16. . 19. . Узнать стоимость за 15 минутРаспродажа дипломныхСкидка 30% по промокоду Diplom2020 Подпишись на наш паблик в ВКНужна работа?Контрольные работы у наших партнеров |