Учебные материалы по математике | Крутая шпора по вышке 2015

class=»MsoTableGrid» cellpadding=»0 » style=’border-collapse:collapse;border:none’>

1.Введение. Предмет ТВ

Возникновение ТВ как науки было обусловлено потребностью практики.ТВ-матем. наука, изучающая закономерности случайных явлений.Случ. явления-явления, кот. при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз несколько по иному(предсказать итог которого невозможно)

Предметом ТВ является матем. анализ случ. величин, т.е. разработка и применение матем. аппарата для изучения явлений, имеющих случ. природу.

Объекты ТВ:-случ. события

-случ. величины

-случ. процессы(фактически весь мир)

Цель ТВ: осуществление прогноза в области случ. явлений.Приложением ТВ является эконометрика, т.к. при исследовании и прогнозировании экономических показателей используется эконометрика, опирающаяся на ТВ.

2.Предмет матем. статистики. История

Математическая статистика— раздел математики, в котором изучаются методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений, массовых случайных явлений для выявления существующих закономерностей.

Математическая статистика тесно связана с теорией вероятностей. Обе эти математичёские дисциплины изучают массовые случайные явления, Связующим звеном между ними являются предельные теоремы теории вероятностей. При этом теория вероятностей выводит из математической модели свойства реального процесса, а математическая статистика устанавливает свойства математической модели, исходя из данных наблюдений (говорят «из статистических данных»).
Предметом математической статистики является изучение случайных величин (или случайных событий, процессов) по результатам наблюдений. Полученные в результате наблюдения (опыта, эксперимента) данные сначала надо каким-либо образом обработать: упорядочить, представить в удобном для обозрения и анализа виде. Это первая задача. Затем, это уже вторая задача, оценить, хотя бы приблизительно, интересующие нас характеристики наблюдаемой случайной величины. Например, дать оценку неизвестной вероятности события, оценку неизвестной функции распределения, оценку математического ожидания, оценку дисперсии случайной величины, оценку параметров распределения, вид которого неизвестен, и т. д.
Следующей, назовем ее условно третьей, задачей является проверка статистических гипотез, т. е. решение вопроса согласования результатов оценивания с опытными данными. Например, выдвигается гипотеза, что: а) наблюдаемая с. в. подчиняется нормальному закону; б) м. о. наблюдаемой с. в. равно нулю; в) случайное событие обладает данной вероятностью и т. д.
Одной из важнейших задач математической статистики является разработка методов, позволяющих по результатам обследования выборки (т. е. части исследуемой совокупности объектов) делать обоснованные выводы о распределении признака (с. в. X) изучаемых объектов по всей совокупности.
Математическая статистика возникла в XVIII веке в работах Я. Бернулли, П. Лапласа, К. Пирсона. В ее современном развитии определяющую роль сыграли труды Г. Крамера, Р. Фишера, Ю. Неймана и др. Большой вклад в математическую статистику внесли русские ученые П. Л, Чебышев, А, М. Ляпунов, А. Н. Колмогоров, Б. В. Гнеденко и другие.

3. Испытания и события.

Испытание-осуществление определенной совокупности условий.Событие-результат испытания. Обозначаются большими латинскими буквами.Исходы испытания-события, каждое из которых может произойти в результате испытания.Виды событий:-достоверные

-невозможные

-случайные

Достоверное— событие, кот. всегда произойдет в результате испытания

Невозможное— кот. не может произойти в результате испытания

Случайное- кот. может произойти или не произойти в результате испытания.

Виды случайных событий:

-несовместные

-совместные

-разновозможные

-противоположные

-единственновозможные

-составные

-элементарные

Операции над событиями:-сумма

-произведение

-разность

Свойства операций над событиями:1)А+В=В+А(коммутативность) АВ=ВА

2)А+(В+С)=(А+В)+С (ассоциативность) А(ВС)=(АВ)С

3) А(В+С)=АВ+АС (дистрибутивность)

4. Элементы комбинаторики.

Комбинаторика— раздел математики, в кот. изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных определенных условиям можно составить из элементов безразлично какой природы, заданного одной формулой

Формулы:1) перестановки-комбинации, состоящие из одних и тех же элементов и отличающихся друг от друга только их порядком.

Свойство:0!=1!=1

n!=1*2*…*n

4!=1*2*3*4=24

2)Размещение — комбинации, составленные из n различных элементов по m, кот. отличаются либо составом элементов, либо их порядком

3)Сочетание-комбинации, состоящие из n различных элементов по m элементов, кот. отличаются хотя бы одним элементом

5. Классическое определение вероятности.

Вероятность события-числовая характеристика возможности наступления случайного события в результете испытания при заданной совокупности условий. Событию можно поставить в соответствие определенное число-его вероятность. Классическое определение вероятностей связано с определением благоприятствуешего исхода. Элементарные исходы, при кот. данное событие наступает – это благоприятствуещее этому исходу. Вероятностью события А называется отношение числа m, благоприятствующее событию А элементарных исходов к общему числу n, равновозможных, единственно-возможных и несовместных элементарных исходов

Р-вероятность, Р(А)=0 – невозможное,

Р(А)=1 — достоверное.

6. Теоремы сложения

1)Теорема сложения вероятностей двух совместимых событий:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

2)Теорема сложения для несовместимых событий:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В) сумма вероятностей двух противоположных событий =1

Р(А)+Р(А)=1

Р(А)=p, P(A)=q

p+q=1

Вероятность события В при условии, что произошло событие А называется условной вероятностью события В и обозначается :РА(В)

7.Теоремы умножения

Теорема умножения вероятностей двух независимых событий

Р(АВ)=Р(А)*Р(В)

Теорема умножения вероятностей двух зависымых событий

Р(АВ)=Р(А)*РА(В)=Р(В)*РВ(А)

8.Формула полной вероятности

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий В1, В2, Вn, образующих полную группу. Т.к. заранее неизвестно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Тогда вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности:

Р(А)=Р(В1)*РВ1(А)+Р(В2)*РВ2(А)+…

+Р(Вn)*PBn(A)

9.Формула Байеса

Если до испытания вероятностей гипотез были: Р(В1), Р(Вn), а в результате испытания появилось событие А, то с учетом этого события «новые»,т. е. условные вероятности гипотез вычисляются по формуле Байеса:

Она даёт возможность произвести переоценку вероятностей гипотез после того, как стало известно, что событие А поступило.

10. Повторные независимые испытания. Ф-ла Бернулли

Если при проведении нескольких испытаний вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других событий, то эти испытания называются независимыми, относительно события А

Формула Бернулли.

Пусть произведено n независимых испытаний, в каждом из которых может произойти событие А с одной и той же вероятностью Р(А)=р, тогда вероятность того, что событие А наступит ровно к раз, находится по формуле Бернулли:

Рn(k)=P(A) = Cknpkqn-k

Непосредственное применение формулы Бернулли при большом числе испытаний связано с громоздскими вычислениями при большом n, вместо формулы Бернулли используется формула Пуассона и формула Муавра-Лапласса

11.Локальная теорема Лапласа

Теорема Муавра — Лапласа — одна из предельных теорем теории вероятностей, установлена Лапласом в 1812. Если при каждом из n независимых испытаний вероятность появления некоторого случайного события Е равна р (0<р<1) и m — число испытаний, в которых Е фактически наступает, то вероятность неравенства близка (при больших n) к значению интеграла Лапласа.

При рассмотрении количества m появлений события A в n испытаниях Бернулли чаще всего нужно найти вероятность того, что m заключено между некоторыми значениями a и b. Так как при достаточно больших n промежуток [a, b] содержит большое число единиц, то непосредственное использование биномиального распределения

требует громоздких вычислений, так как нужно суммировать большое число определённых по этой формуле вероятностей.

Поэтому используют асимптотическое выражение для биномиального распределения при условии, что p фиксированно, а . Теорема Муавра-Лапласа утверждает, что таким асимптотическим выражением для биномиального распределения является нормальная функция.

12.Интегральная теорема Лапласа

Интегральная теорема Муавра — Лапласа: Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность Рп(т1, т2) того, что событие А появится в п испытаниях от т1 до т2 раз. Приближенно равна определенному интегралу

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.