Круговое свойство

2. Преобразование , где есть гомотетия с центром 0.

3. Преобразование есть параллельный перенос на «вектор»

3. Преобразование есть композиция инверсии относительно единичной окружности и отражения относительно действительной оси.

4. Любое дробно-линейное преобразование можно представить в виде композиции преобразований, указанных выше.

Доказательство. Заметим, что

в том случае когда c≠ 0, т. е. в том случае, когда дробно-линейное преобразование не является линейным. Согласно определению дробно-линейного преобразования, число ad-bc не нулевое. Любое ненулевое комплексное число можно представить в виде произведения r⋅a, где |a| =1 и r∈ ℝ>0 . □

Под окружностью в расширенном смысле будем понимать либо окружность в привычном смысле, либо прямую как окружность бесконечного радиуса. Уравнение такой окружности будет

A(x2+y2)+Bx+Cy+D=0,

где A, B,C, D∈ ℝ и первые три коэффициента не равны одновременно нулю. Случай A=0 соответствует прямой. Заметим, что это уравнение можно переписать в виде

где A, D∈ ℝ и M=B/2+C/(2i)∈ ℂ .

Теорема [круговое свойство] Всякая дробно-линейная функция переводит окружность в расширенном смысле в окружность в расширенном смысле.

Доказательство. В виду предыдущей теоремы и того элементарного факта, что параллельный перенос, поворот, гомотетия и симметрия переводят окружность в окружность, а прямую в прямую, доказательство достаточно провести для преобразования вида w= 1/z. Пусть (2) — уравнение окружности в расширенном смысле. Тогда z=1 / w и уравнение ( 2 ) переписывается так:

или

Это уравнение также задает окружность в расширенном смысле на плоскости w (при D=0 получаем прямую).□

Предложение 1. Дробно-линейная функция, отображающая верхнюю полуплоскость на внутренность единичного круга имеет вид

Предложение 2. При любом дейсвительном и любом комплексном α, не принадлежащем единичной окружности, дробно-линейная функция следующего вида:

отображает единичную окружность на себя. Если , то (3) отображает единичный круг на себя, а при (3) отображает единичный круг на внешность единичного круга.

Доказательство. Во-первых в силу того, что α ∉ 𝕊 . Далее:

| w(1)| =|1-α |/|1-ov a| =| 1-α |/ |ov( 1- α )| =1,

| w(-1)| =| -1-α |/|1+ov α | =|1+α |/ |ov( 1+ α )| =1,

|w(i)| =| i-α |/|1-iov α | = | i-α |/|(-i-ov α )i| =| i-α |/|ov (i-α)| =1.

Итак: w(1), w(-1), w(i) — три различные точки, лежащие на единичной окружности. Следовательно, w(𝕊 )=𝕊 в силу кругового свойства. Так как w(0)=a⋅ α и | w(0)| =|α | , то при |α | >1 единичный круг отображается на внешность единичного круга, а при |α | <1 дробно-линейное преобразование (3 ) отображает единичный круг на себя.□

Предложение 3. Группа дробно-линейных преобразований, оставляющих верхнюю полуплоскось на месте, состоит из функций вида

Доказательство. Так как , то . Умножая числитель и знаменатель дроби на , если или на если (и тогда обязательно ), сводим доказательство к случаю, когда . Так как , то для некоторого . Кроме того, и поэтому для действительного t. Подставляя второе соотношение в первое, получим,

Заметим, что , иначе и — противоречие с определением дробно-линейного преобразования. Тогда из (4) вытекает, что , а значит и — действительны.

Обратное утверждение очевидно.□

8  Аналитичность

Пусть функция f(z) определена в окрестности точки z0. Производная функции комплексного переменного w=f(z) в точке z0 определяется в точности также как и для функции действительного переменного.

Функция комплексного переменного называется аналитической в точке, если она имеет производную в некоторой окрестности этой точки. Аналитичность на замкнутой области D означает существование производной на некоторой открытой области G, содержащей D.

Имеют место обычные правила дифференцирования: производная суммы, произведения, частного и производная сложной функции. Производная постоянной функции равна 0. Если w=f(z) и z=g(w) — две взаимно-обратные функции, то g'(w)= 1 / f'(z) .

Многочлен w=c0+c1z+… +cnzn является аналитической функцией на всей комплексной плоскости. Дробно-линейная функция аналитична всюду, кроме точки — d/c (при c≠ 0), при этом ее производная w’= (ad-dc) / (cz+d)2 нигде не обращается в ноль.

Пример. Функция не аналитична ни в одной точке, так как отношение стремиться к 1, если и стремитькся к -1, если .

Предложение. Из аналитичности функции следует ее непрерывность.

Условия Коши-Римана. Если функция f(z)=u(x, y)+iv(x, y) аналитична в точке z0, то выполнены условия