Учебные материалы по математике | Кривые поверхности | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Кривые поверхности


12.Кривые поверхности. Образование, способы задания на чертеже. Определитель, очерк поверхности. Основные типы поверхностей. Принадлежность точки и линии поверхности.

Образование поверхности

Поверхность образуется перемещением линии в пространстве по определенному закону.

Линия, производящая поверхность, называется образующей.

Образующая при движении может пересекать одну или несколько неподвижных линий, называемых направляющими.

Способы задания поверхностей:

• аналитический – при помощи уравнений;

• при помощи каркаса – множеством линий, принадлежащих поверхности;

• кинематический – перемещением линии в пространстве.

Определитель поверхности – совокупность условий, однозначно задающих поверхность.

Φ (Г) [А]

• Геометрическая часть состоит из совокупности геометрических фигур (точек, линий, плоскостей и т. п.), участвующих в образовании поверхности.

• Алгоритмическая часть (описательная) содержит сведения о характере изменения

образующей и законе ее перемещения.

Очерк поверхности – проекция видимого контура поверхности на рассматриваемую плоскость проекций.

Принадлежность точки поверхности

Точка принадлежит поверхности, если она принадлежит какой-либо линии этой поверхности.

Принадлежность линии поверхности

Линия принадлежит поверхности, если все ее точки принадлежат этой поверхности.

Основные типы поверхностей:

•  гранные (образующая – прямая, направляющая – ломаная линия);

•  кривые (кривыми называются поверхности с криволинейной направляющей);

•  линейчатые поверхности (линейчатыми называются поверхности, образуемые движением прямолинейной образующей):

— развертывающиеся поверхности;

— неразвертывающиеся (косые) поверхности.

13.Поверхности вращения. Однополостный гиперболоид вращения. Образование и изображение на чертеже.

Поверхности вращения

Образуются вращением образующей – плоской или пространственной кривой линии или прямой вокруг неподвижной оси.

Линейчатые поверхности вращения

Образуются вращением образующей – прямой линии вокруг неподвижной оси.

Например:

Ø  цилиндрическая поверхность вращения (образующая – прямая, параллельная оси вращения);

Ø  коническая поверхность вращения (образующая – прямая, пересекающая ось вращения);

Ø  однополостный гиперболоид вращения (образующая – прямая, скрещивающаяся с осью вращения);

Поверхности, образуемые вращением кривых второго порядка

• вокруг своей оси;

• вокруг оси, не являющейся осью кривой, но расположенной в ее плоскости.

Например:

Ø  тор — образуется вращением окружности вокруг оси, лежащей в плоскости окружности, но не проходящей через ее центр;

Ø  сфера – образуется вращением окружности вокруг её диаметра;

Ø  эллипсоид вращения – образуется вращением эллипса вокруг большой или малой оси;

Ø  параболоид вращения – образуется вращением параболы вокруг её оси;

Ø  гиперболоид вращения:

— однополостный – образуется вращением гиперболы вокруг её мнимой оси;

— двуполостный – образуется вращением гиперболы вокруг её действительной оси;

14.Развертывающиеся линейчатые поверхности. Поверхности с ребром возврата. Образование и изображение на чертеже.

Развертывающиеся линейчатые поверхности.

Поверхность называется развертывающейся, если она может быть совмещена с плоскостью без складок и разрывов.

К развертывающимся относятся поверхности с ребром возврата (торсовые поверхности).

Ребром возврата называется пространственная кривая линия, которой касается прямолинейная образующая в каждом своем положении.

Например: торс, коническая поверхность, цилиндрическая поверхность.

Неразвертывающиеся (косые) линейчатые поверхности

В общем случае образуются движением прямолинейной образующей по трем направляющим линиям.

Например:

Ø  косой цилиндр с тремя направляющими (направляющие – кривые линии);

Ø  дважды косой цилиндроид (две направляющих – кривые, а третья – прямая);

Ø  дважды косой коноид (одна направляющая – кривая, две другие – прямые);

Ø  однополостной гиперболоид (направляющие – скрещивающиеся прямые, не параллельные одной плоскости).

15.Винтовые поверхности. Прямой и наклонный геликоид. Образование и изображение. Применение в технике.

Винтовые поверхности

Поверхность, образованная винтовым движением прямой линии, называется линейчатой винтовой поверхностью – геликоидом.

Прямой геликоид (винтовой коноид)

Образуется движением прямолинейной образующей по двум направляющим – цилиндрической винтовой линии и её оси, к которой образующая перпендикулярна.

Наклонный геликоид

Образуется движением прямолинейной образующей по двум направляющим – цилиндрической винтовой линии и ее оси, с которой образующая составляет постоянный угол, отличный от прямого.

16. Линейчатые поверхности с плоскостью параллелизма: цилиндроиды, коноиды и гиперболический параболоид. Образование, изображение и применение в технике.

Линейчатые поверхности с плоскостью параллелизма (поверхности Каталана) – поверхности с двумя направляющими линиями и направляющей плоскостью, относительно которой образующая во всех положениях остается параллельной.

Например:

Ø  прямой цилиндроид (направляющие – пространственные кривые линии);

Ø  прямой коноид (одна направляющая – прямая, вторая – пространственная кривая линия);

Ø  косая плоскость (гиперболический параболоид) (направляющие – скрещивающиеся прямые);

В сечении соответствующими плоскостями можно получить параболы и гиперболы. Косая плоскость может быть получена также путем плоскопараллельного перемещения одной из парабол, как образующей, по второй параболе, как направляющей.

17. Многогранники. Образование гранных поверхностей. Видимость ребер. Пересечение призм и пирамид плоскостью.

Многогранник – замкнутая пространственная фигура, ограниченная плоскими многоугольниками.

Гранные поверхности – образующая – прямая, направляющая – ломаная линия.

У пирамидальной поверхности образующие пересекаются в собственной точке, а у призматической поверхности в несобственной точке.

18. Циклические поверхности.

Циклическая поверхность

Образуется окружностью, центр которой перемещается по криволинейной направляющей, а радиус окружности монотонно меняется.

Трубчатая поверхность – нелинейчатая поверхность с образующей постоянного вида, частный случай циклической и каналовой поверхностей.

19. Пересечение кривой поверхности плоскостью. Общий метод решения задачи. Конические, цилиндрические и сферические сечения.

Пересечение поверхности плоскостью

При пересечении поверхности плоскостью получается плоская фигура, называемая сечением(плоская кривая).

Конические сечения

Сечение конуса вращения плоскостью, перпендикулярной его оси, – окружность.

Сечение конуса вращения плоскостью, не параллельной ни одной из его образующих, – эллипс.

Сечение конуса вращения плоскостью, параллельной одной его образующей, – парабола.

Сечение конуса вращения плоскостью, параллельной двум его образующим( в частном

случае – параллельной его оси), – гипербола.

Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, – две пересекающиеся

прямые (образующие).

Сечения цилиндра

Сечение цилиндра вращения плоскостью, перпендикулярной его оси, – окружность.

Сечение цилиндра вращения плоскостью, не параллельной ни одной его образующей,

эллипс.

Сечение цилиндра вращения плоскостью, параллельной его оси, – две параллельные

прямые (образующие).

Сечение сферы

Сечение сферы – окружность.

Сечение сферы проецируется в виде окружности, если секущая плоскость параллельна плоскости проекций.

Сечение сферы проецируется в виде эллипса, если секущая плоскость наклонна к плоскости проекций.

20. Пересечение прямой линии с поверхностью. Общий метод решения задачи. Построение точек пересечения прямой с гранной и кривой поверхностью.

21. Взаимное пересечение кривых поверхностей. Общий метод решения задачи. Применение плоскостей общего положения и плоскостей уровня.

Построение линии пересечения двух поверхностей

Линия пересечения – в общем случае пространственная кривая линия.

Способ секущих плоскостей.

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод