Кривые поверхности

12.Кривые поверхности. Образование, способы задания на чертеже. Определитель, очерк поверхности. Основные типы поверхностей. Принадлежность точки и линии поверхности.

Образование поверхности

Поверхность образуется перемещением линии в пространстве по определенному закону.

Линия, производящая поверхность, называется образующей.

Образующая при движении может пересекать одну или несколько неподвижных линий, называемых направляющими.

Способы задания поверхностей:

• аналитический – при помощи уравнений;

• при помощи каркаса – множеством линий, принадлежащих поверхности;

• кинематический – перемещением линии в пространстве.

Определитель поверхности – совокупность условий, однозначно задающих поверхность.

Φ (Г) [А]

• Геометрическая часть состоит из совокупности геометрических фигур (точек, линий, плоскостей и т. п.), участвующих в образовании поверхности.

• Алгоритмическая часть (описательная) содержит сведения о характере изменения

образующей и законе ее перемещения.

Очерк поверхности – проекция видимого контура поверхности на рассматриваемую плоскость проекций.

Принадлежность точки поверхности

Точка принадлежит поверхности, если она принадлежит какой-либо линии этой поверхности.

Принадлежность линии поверхности

Линия принадлежит поверхности, если все ее точки принадлежат этой поверхности.

Основные типы поверхностей:

•  гранные (образующая – прямая, направляющая – ломаная линия);

•  кривые (кривыми называются поверхности с криволинейной направляющей);

•  линейчатые поверхности (линейчатыми называются поверхности, образуемые движением прямолинейной образующей):

— развертывающиеся поверхности;

— неразвертывающиеся (косые) поверхности.

13.Поверхности вращения. Однополостный гиперболоид вращения. Образование и изображение на чертеже.

Поверхности вращения

Образуются вращением образующей – плоской или пространственной кривой линии или прямой вокруг неподвижной оси.

Линейчатые поверхности вращения

Образуются вращением образующей – прямой линии вокруг неподвижной оси.

Например:

Ø  цилиндрическая поверхность вращения (образующая – прямая, параллельная оси вращения);

Ø  коническая поверхность вращения (образующая – прямая, пересекающая ось вращения);

Ø  однополостный гиперболоид вращения (образующая – прямая, скрещивающаяся с осью вращения);

Поверхности, образуемые вращением кривых второго порядка

• вокруг своей оси;

• вокруг оси, не являющейся осью кривой, но расположенной в ее плоскости.

Например:

Ø  тор — образуется вращением окружности вокруг оси, лежащей в плоскости окружности, но не проходящей через ее центр;

Ø  сфера – образуется вращением окружности вокруг её диаметра;

Ø  эллипсоид вращения – образуется вращением эллипса вокруг большой или малой оси;

Ø  параболоид вращения – образуется вращением параболы вокруг её оси;

Ø  гиперболоид вращения:

— однополостный – образуется вращением гиперболы вокруг её мнимой оси;

— двуполостный – образуется вращением гиперболы вокруг её действительной оси;

14.Развертывающиеся линейчатые поверхности. Поверхности с ребром возврата. Образование и изображение на чертеже.

Развертывающиеся линейчатые поверхности.

Поверхность называется развертывающейся, если она может быть совмещена с плоскостью без складок и разрывов.

К развертывающимся относятся поверхности с ребром возврата (торсовые поверхности).

Ребром возврата называется пространственная кривая линия, которой касается прямолинейная образующая в каждом своем положении.

Например: торс, коническая поверхность, цилиндрическая поверхность.

Неразвертывающиеся (косые) линейчатые поверхности

В общем случае образуются движением прямолинейной образующей по трем направляющим линиям.

Например:

Ø  косой цилиндр с тремя направляющими (направляющие – кривые линии);

Ø  дважды косой цилиндроид (две направляющих – кривые, а третья – прямая);

Ø  дважды косой коноид (одна направляющая – кривая, две другие – прямые);

Ø  однополостной гиперболоид (направляющие – скрещивающиеся прямые, не параллельные одной плоскости).

15.Винтовые поверхности. Прямой и наклонный геликоид. Образование и изображение. Применение в технике.

Винтовые поверхности

Поверхность, образованная винтовым движением прямой линии, называется линейчатой винтовой поверхностью – геликоидом.

Прямой геликоид (винтовой коноид)

Образуется движением прямолинейной образующей по двум направляющим – цилиндрической винтовой линии и её оси, к которой образующая перпендикулярна.

Наклонный геликоид

Образуется движением прямолинейной образующей по двум направляющим – цилиндрической винтовой линии и ее оси, с которой образующая составляет постоянный угол, отличный от прямого.

16. Линейчатые поверхности с плоскостью параллелизма: цилиндроиды, коноиды и гиперболический параболоид. Образование, изображение и применение в технике.

Линейчатые поверхности с плоскостью параллелизма (поверхности Каталана) – поверхности с двумя направляющими линиями и направляющей плоскостью, относительно которой образующая во всех положениях остается параллельной.

Например:

Ø  прямой цилиндроид (направляющие – пространственные кривые линии);

Ø  прямой коноид (одна направляющая – прямая, вторая – пространственная кривая линия);

Ø  косая плоскость (гиперболический параболоид) (направляющие – скрещивающиеся прямые);

В сечении соответствующими плоскостями можно получить параболы и гиперболы. Косая плоскость может быть получена также путем плоскопараллельного перемещения одной из парабол, как образующей, по второй параболе, как направляющей.

17. Многогранники. Образование гранных поверхностей. Видимость ребер. Пересечение призм и пирамид плоскостью.

Многогранник – замкнутая пространственная фигура, ограниченная плоскими многоугольниками.

Гранные поверхности – образующая – прямая, направляющая – ломаная линия.

У пирамидальной поверхности образующие пересекаются в собственной точке, а у призматической поверхности в несобственной точке.

18. Циклические поверхности.

Циклическая поверхность

Образуется окружностью, центр которой перемещается по криволинейной направляющей, а радиус окружности монотонно меняется.

Трубчатая поверхность – нелинейчатая поверхность с образующей постоянного вида, частный случай циклической и каналовой поверхностей.

19. Пересечение кривой поверхности плоскостью. Общий метод решения задачи. Конические, цилиндрические и сферические сечения.

Пересечение поверхности плоскостью

При пересечении поверхности плоскостью получается плоская фигура, называемая сечением(плоская кривая).

Конические сечения

Сечение конуса вращения плоскостью, перпендикулярной его оси, – окружность.

Сечение конуса вращения плоскостью, не параллельной ни одной из его образующих, – эллипс.

Сечение конуса вращения плоскостью, параллельной одной его образующей, – парабола.

Сечение конуса вращения плоскостью, параллельной двум его образующим( в частном

случае – параллельной его оси), – гипербола.

Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, – две пересекающиеся

прямые (образующие).

Сечения цилиндра

Сечение цилиндра вращения плоскостью, перпендикулярной его оси, – окружность.

Сечение цилиндра вращения плоскостью, не параллельной ни одной его образующей,

– эллипс.

Сечение цилиндра вращения плоскостью, параллельной его оси, – две параллельные

прямые (образующие).

Сечение сферы

Сечение сферы – окружность.

Сечение сферы проецируется в виде окружности, если секущая плоскость параллельна плоскости проекций.

Сечение сферы проецируется в виде эллипса, если секущая плоскость наклонна к плоскости проекций.

20. Пересечение прямой линии с поверхностью. Общий метод решения задачи. Построение точек пересечения прямой с гранной и кривой поверхностью.

21. Взаимное пересечение кривых поверхностей. Общий метод решения задачи. Применение плоскостей общего положения и плоскостей уровня.

Построение линии пересечения двух поверхностей

Линия пересечения – в общем случае пространственная кривая линия.

Способ секущих плоскостей.