Критерий сходимости ряда с неотрицательными членами

причем

1)

2) ,

но не наоборот

Замечание:

Из сход сх сх и сх

Необходимое условие сходимости ряда:

Если ряд , , сх, то

Доказательство

сх =>

Замечание: это условие не является достаточным.

Следствие : если или = то расх.

,

,

( Sn) –неубыв.

Последовательность Sn сх

15. Интегральный признак сходимости рядов с неотр. членами.

Теорема (критерий сходимости ряда с неотрицательными членами).

Для того, чтобы ряд с неотрицательными членами сходился, необходимо и достаточно чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена сверху.

— интегральный признак сходимости

Теорема (Коши-Маклорена)

f(x)

1)  f(x)

2)  f(x) – непр.

3)  f(x) монот. убывает (не возраст)

НИ-1 сх сх

Доказательство

, ак = f(k) , k –натуральное число

1)  Пусть сх

= (число)

сход

2) сход

(число)

сход

— эталонный ряд

Замечания – в интеграле нижний предел не обязат. брать 1

— если сход

Из (**)

— оценка остатка сходимости ряда.

16. Признаки сравнения для рядов с неотрицательными членами.

Теорема 1. (признак сравнения)

,