Критерий сэвиджа

M{x2}=11.5; M{x3}=18.0; M{x4}=21.5. Наилучшим уровнем предложения услуг в соответствии с критерием Лапласа будет x2.

2.1.3. Критерий Сэвиджа. Рассмотрим следующий пример. Пусть множества X={x1, x2} и Y={y1, y2} состоят только из двух элементов. Целевая функция является функцией затрат ОС и задана таблицей. Приме-

Стратегию x1, то при худшем для него варианте y=y1 затраты возрастут по сравнению с гарантированным результатом на 1%, а при благоприятном варианте затраты составят только 0.9% от гарантированных затрат, т. е. уменьшатся на 99.1%.

Учесть подобные ситуации и реализовать выбор стратегии, дающей возможно небольшой проигрыш, но и возможно существенный выигрыш по сравнению со стратегией гарантированного результата, позволяет критерий Сэвиджа. Пусть целевая функция f(x,y) есть функция выигрыша ОС. Следовательно, ОС стремится максимизировать целевую функцию. Составим функцию сожаления:

(5)

Величина выражает «сожаление» ОС в том, что она для данного неопределенного фактора y выбрала стратегию x, а не лучшую стратегию

.

Функцию называют также функцией риска. Затем для функции применяется критерий наилучшего гарантированного результата, то есть оптимальное х0 ищется следующим образом. Для каждого контролируемого фактора хX

. (6)

В случае, когда в модели операции задана функция потерь (проигрыша), функция сожаления будет иметь вид

(7)

и опять выражает «сожаление» ОС о том, что она для данного неопределенного фактора yY применила стратегию x, a не лучшую стратегию :

.

Далее, оптимальная по данному критерию стратегия х0 ищется из критерия наилучшего гарантированного результата для 2(х, у):

.

Функция сожаления и в случае функции выигрыша f (формула (5)) и в случае функции потерь f (формула (7)) выражает величину потерь ОС от неприменения лучшей стратегии. Поэтому критерий наилучшего гарантированного результата в обоих случаях является минимаксным:

(8)

Составим матрицу сожаления для приведенного в начале пункта примера. Так как функция f(i, j) в данном примере есть функция потерь, то

Функцию 2(i, j) запишем в виде матрицы S сожалений:

S=

Теперь из критерия наилучшего гарантированного результата для матрицы S получаем, что оптимальной будет стратегия х1.

Рассмотрим пример 3. Так как в этом примере задана функция потерь, то функция сожаления (i, j) вычисляется по формуле (7).

=5-5=0, , 2(1,3)=21-5=16 и т. д.

Результаты вычислений запишем в виде матрицы S:

S=

Для нахождения оптимальной по критерию Сэвиджа стратегии ОС найдем по матрице сожалений S стратегию х0, удовлетворяющую принципу наилучшего гарантированного результата. Для этого в силу (8) нужно найти максимальный элемент в каждой строке матрицы S. Обозначим его b1, b2, b3, b4, соответственно. Затем необходимо найти наименьшее из чисел bi. Тогда номер i*: bi*= min{bj}- определит оптимальную стратегию. В примере 3 b1=10, b2=8, b3=16, b4=25. Соответственно, i0 =2, так как b2=min{b1;b2;b3;b4}. Следовательно, стратегия х2 является оптимальной по критерию Сэвиджа в данном примере. Этот ответ совпадает с ответом, полученным по критерию Лапласа.

Таким образом, для приведенной в примере 3 функции потерь оптимальной и по критерию Лапласа, и по критерию Сэвиджа является стратегия х2. Однако из приведенного примера не стоит делать вывод, что такое совпадение будет всегда выполняться. Можно привести пример, когда эти два критерия будут считать оптимальными различные стратегии.

2.1.4. Критерий Гурвица. Для определения следующего критерия нам понадобится понятие выпуклой комбинации.

Определение 13. Число с называется выпуклой комбинацией чисел a и b, если существует число [О;1] такое, что

c= a +(1 — )b.

Отметим, что множество всех таких чисел образует отрезок [a ; b]. Критерий Гурвица является выпуклой комбинацией критериев крайнего пессимизма W1(x, у) и крайнего оптимизма:

. (9)

Здесь мы считаем, что задана функция выигрыша f(x, y). Критерий крайнего оптимизма предполагает, что неопределенный фактор yY — максимально содействует ОС в ее стремлении увеличить свой выигрыш. Итак, в случае, когда задана функция выигрыша f(x, y) ОС критерий Гурвица имеет вид:

=. (10)

Оптимальной в этом случае считается стратегия х0X, доставляющая максимум функции W5(x), т. е.

W5(х0)=W5(x) .

Для функции потерь (х, у) критерий Гурвица задается равенством: