Критерий наилучшего гарантированного результата

2)критерий наилучшего гарантированного результата, то есть ОС предполагает, что величина z будет реализовываться наихудшим для нее образом.

В случае 1) по формуле (11) получаем

Дифференцируя по x и приравнивая к нулю, получаем, что по этой оценке лучший результат достигается при x0=30км/ч.

В случае 2) ОС считает z неопределенным фактором и никак не использует информацию о случайном его характере (о функции распределения вероятностей). Полагая в формуле (3) y=z, Y=Z получаем

Так как функция монотонно убывает при z ³0, то на отрезке [0.5; 1] она принимает минимальное значение в точке x=1, следовательно,

.

Максимум этой функции достигается в точке x0=30км/ч.

Задача 2

В мэрии рассматриваются три проекта строительства теплопунктов в новом микрорайоне. Затраты по строительству, обслуживанию и развитию в соответствии с четырьмя возможными вариантами развития микрорайона заданы в виде таблицы

Найти проект, минимизирующий затраты.

Решение. Контролируемым фактором является выбор того или иного проекта. Обозначим xi – выбор i-го проекта, тогда X={x1, x2, x3,} – множество контролируемых факторов. Неконтролируемым фактором будет вариант развития микрорайона. Обозначим yj – j-й вариант развития микрорайона, тогда Y={y1, y2, y3, y4} – множество неконтролируемых факторов. Так как не задано вероятностей наступления yj , то это неопределенный фактор. Целевая функция задана в виде таблицы. Найдем решения по четырем критериям в условиях неопределенности. Напомним, что по условиям задачи ОС необходимо минимизировать затраты.

1.  В соответствии с критерием Вальда (3)

W1(x1)=max{10; 15; 17; 9}=17;

W1(x2)=max{14; 12; 10; 16}=16;

W1(x3)=max{12; 13; 14; 15}=15.

Следовательно, оптимальным по этому критерию является третий проект x3 , так как при этом проекте оценка W1(x) принимает наименьшее значение.

2. Найдем решение по критерию Лапласа. Так как неопределенный фактор принимает четыре значения, то каждому из них припишем вероятность 0.25. В соответствии с (4) получаем

W2(x1)=11´0.25+15´0.25+17´0.25+12´0.25=13.75;

W2(x2)=14´0.25+12´0.25+10´0.25+16´0.25=13;

W2(x3)=12´0.25+13´0.25+14´0.25+15´0.25=13.5.

Минимальные ожидаемые затраты получаются при x2, следовательно, второй проект является оптимальным по критерию Лапласа.

3.Для нахождения наилучшего проекта по критерию Сэвиджа необходимо записать функцию сожаления j(x,y). Так как необходимо минимизировать затраты, применим формулу (6). Функцию сожаления так же удобно записать в виде матрицы

Применяя к функции сожаления критерий наилучшего гарантированного результата, получим

W3(x1)=max{0; 3; 7; 0}=7;

W3(x2)=max{3; 0; 0; 4}=4;

W3(x3)=max{1; 1; 4; 3}=4.

Наименьшее значение критерия достигается на x2, x3 . Таким образом, по критерию Сэвиджа оптимальными будут второй и третий проекты.

4. При применении критерия Гурвица ОС должна определить коэффициент aÎ[0; 1] – показатель оптимизма. Пусть a=0.4. Так как в этой задаче требуется минимизировать целевую функцию, то критерий крайнего оптимизма будет задаваться как минимальное из возможных значений при данном значении x:

W4(x1)=min{10; 15; 17; 9}=10;

W4(x2)=min{14; 12; 10; 16}=10;

W4(x3)=min{12; 13; 14; 15}=12.

По формуле (10) получаем

W6(x1)=a W4(x1) + (1-a) W1(x1)=0.4´10 + (1 – 0.4)´17=14.2;

W6(x2)=a W4(x2) + (1-a) W1(x2)= 0.4´10 + (1 – 0.4)´16=13.6;

W6(x3)=a W4(x3) + (1-a) W1(x3)= 0.4´12 + (1 – 0.4)´15=13.8.

При выбранном значении a=0.4 лучшим оказался второй проект, так как значение критерия Гурвица при x2 наименьшее из возможных.

Задача 3

Пусть две фирмы конкурируют на рынке. Первая фирма имеет четыре стратегии, вторая – три. Если первая фирма применяет стратегию i, i= {1,2,3,4}, а вторая – стратегию j, j={1,2,3}, то первая получит выигрыш в размере f(i, j), а вторая проиграет ту же величину. Если выигрыш первой фирмы – отрицательное число, то это означает, что она проиграет такое количество условных денежных единиц, а вторая выиграет их. Функция f(i, j) задана в виде таблицы

Если первая фирма применяет смешанную стратегию j и допускает осреднение критерия, то оценкой эффективности (j) этой стратегии в случае, когда стратегия у второй фирмы является неопределенным фактором, будет наименьшее (по у) из математических ожиданий (yj), i= выигрыша первой фирмы при фиксированном неопределенном факторе yi;. Имеем