Кратные и криволинейные интегралы

ТФКП

1.  Кратные и криволинейные интегралы.

·  Задача об объеме цилиндрического бруса. Определение двойного интеграла. Необходимое условие интегрируемости.

·  Геометрический смысл двойного интеграла. Суммы Дарбу. Критерий интегрируемости. Свойства двойного интеграла, выражение равенствами.

·  Свойство двойного интеграла, выражение неравенствами. Теорема о среднем.

·  Вычисление двойного интеграла в случае прямоугольной области.

·  Вычисление двойного интеграла в случае нормальных областей I и II типов.

·  Регулярное преобразование. Свойства.

·  Криволинейные координаты. Площадь в криволинейных координатах. Геометрический смысл модуля Якобиана.

·  Теорема о замене переменных в двойном интеграле.

·  Простая поверхность. Параметризация поверхности. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

·  Односторонние и двухсторонние поверхности. Понятие стороны поверхности. Площадь поверхности.

·  Механическое приложение двойного интеграла.

·  Понятие объема (меры) тела. Кубируемость. Определение тройного интеграла. Свойства. Вычисление тройных интегралов в случае параллелепипеда и нормальных областей.

·  Механический смысл тройного интеграла. Замена переменных в тройном интеграле.

·  Механические приложения тройного интеграла.

·  Криволинейные интегралы I рода. Существование и вычисление криволинейных интегралов I рода.

·  Криволинейные интегралы II рода. Задача о выполнении работы силового поля.

·  Свойства криволинейных интегралов II рода. Существование и вычисление.

·  Формула Грина.

·  Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования.

·  Поверхностные интегралы I рода. Сведение к двойному.

·  Поверхностные интегралы II рода. Задача о количестве жидкости, протекающей через поверхность. Определение поверхностного интеграла II рода.

·  Сведение поверхностного интеграла II рода к двойному.

2.  Теория функций комплексной переменой.

·  Понятие комплексного числа. Геометрическая иллюстрация. Модуль и аргументы КЧ. Алгебраическая и тригонометрическая формы КЧ. Бесконечно удаленная точка. Примеры числовых множеств на расширенной комплексной плоскости.

·  Предел последовательности КЧ. Кривая Жордана. Комплексная функция вещественной переменной. Геометрическая интерпретация.

·  Комплексная функция комплексной переменой. Геометрическая интерпретация КФКП. Действительная и мнимая часть КФКП. Однолистные функции.

·  Функция . Область однолистности. Отображение осуществляемое . Функция . Понятие римановой поверхности.

·  Теоремы о сохранении области и об отображении области с границей.

·  Понятие аналитической функции. Условие Коши-Римана.

·  Построение аналитической функции по ее вещественным и мнимым частям. Понятие комформного отображения.

·  Геометрический смысл модуля и аргумента производной.

·  Функция . Свойства. Отображение, осуществляемое функцией.

·  Логарифмическая функция. Главное значение логарифма. Отображение, осуществляемое логарифмической функцией. Понятие степени КЧ с любым комплексным показателем.

·  , . Свойства. Отображение, осуществляемое функцией .

·  Дробно-линейная функция. Свойства. Преобразование, осуществляемое линейной функцией.

·  Круговое свойство линейной функции. Отображение симметричных точек. Линейная функция переходящая тир заданные точки в три заданные точки. Отображение верхней полуплоскости в единичный круг.

·  Интеграл от функции комплексного переменного. Теорема существования. Методы вычисления интегралов.

·  Интегральная теорема Коши. Следствия.

·  Интеграл Коши. Интеграл типа Коши. Бесконечная дифференцируемость аналитической функции.

·  Интеграл, как функция верхнего предела. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление интегралов , , (по С), где С окружность радиуса R.

·  Разложение аналитической функции в степенной ряд Тейлора.

·  Ряд Лорана аналитической функции.

·  Нули аналитической функции. Полюса. Связь между нулями и полюсами. Классификация изолированных особых точек.

·  Понятие вычета функции относительно особой точки. Способы вычисления вычетов. Вычет функции относительно бесконечно удаленной точки.

·  Приложения теории вычетов к вычисления интегралов.

3.  Ряды Фурье.

·  Евклидово пространство, норма, метрика в евклидовом пространстве. Ортогональные системы. Примеры.

·  Общий ряд Фурье. Задача о наилучшем приближении. Экстремальное свойство коэффициентов Фурье, тождество Бесселя.

·  Сходимость по норме ряда Фурье, равенство Парсеваля. Необходимое и достаточное условие замкнутости ортогональной системы.

·  Тригонометрический ряд Фурье. Теорема Дирихле.

·  Кусочно-гладкие и кусочно-непрерывные функции.

·  Основная теорема о сходимости ряда Фурье (б. д.). условия равномерной и абсолютной сходимости ряда Фурье.

·  Разложение в ряд Фурье функции с произвольным периодом и непериодической функции.

·  Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций. Разложение только по синусам(косинусам).

·  Преобразование Фурье, прямое и обратное. Свойства преобразования Фурье. Приложение к решению интегральных уравнений. Решение уравнения теплопроводности методом преобразования Фурье.