Вузы по математике
Готовые работы по математике
Как писать работы по математике
Примеры решения задач по математике
Решить задачу по математике onlineКорень n – ой степени из комплексного числа
Рассмотрим два комплексных числа с1 и с2, с2 ≠ 0. . По определению частного с1 = с·с2 = 
·с2.
Arg c1 = Arg 
+ Arg c2
Arg = Arg c1 — Arg c2
Итак, с = = [cos(Arg c1 — Arg c2)+i·sin(Arg c1 — Arg c2)]
Комплексное число с = изображается вектором, который получается из вектора с1 путем его сжатия в 
раз, затем поворотом полученного вектора на угол (-Arg c2)
6. Корень n – ой степени из комплексного числа
Возьмем произвольное комплексное число с и натуральное число n 
2.
Комплексное число Z называется корнем n–ой степени из комплексного числа c, если Zn = c.
Найдем все значения корня n–ой степени из комплексного числа с. Пусть c=|c|·(cos Arg c+i·sin Arg с), а Z = |Z|·(сos Arg Z + i·sin Arg Z), где Z корень n—ой степени из комплексного числа с. Тогда должно быть 
= c = |c|·(cos Arg c+i·sin Arg с). Отсюда следует, что 
и n·Arg Z = Arg с Arg Z = 
(k=0,
1,…). Следовательно, Z = 
(cos 
+ i·sin 
), (k=0,1,…). Легко увидеть, что любое из значений , (k=0,1,…) отличается от одного из соответствующих значений ,(k = 0,1,…,n-1) на кратное 2π. Поэтому
, (k = 0,1,…,n-1).
7. Предел последовательности комплексных чисел
Комплексно-значная функция натурального аргумента называются последовательностью комплексных чисел и обозначается (сn) или с1, с2, …, сn. сn = аn+bn·i (n = 1,2, …) комплексные числа.
с1, с2, … — члены последовательности; сn – общий член
Комплексное число с = a+b·i называется пределом последовательности комплексных чисел (cn), где сn = аn+bn·i (n = 1, 2, …), где для любого 
, что при всех n > N выполняется неравенство 
. Последовательность, имеющая конечный предел называется сходящейся последовательностью.
Теорема.
Для того, чтобы последовательность комплексных чисел (сn) (сn = аn+bn·i) сходилась к числу с = a+b·i, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство lim an = a, lim bn = b.
Теорема.
Пусть последовательность комплексных чисел (сn) и (zn) сходятся соответственно к с и z, тогда справедливо равенства lim(сn zn) = c z, lim(сn·zn) = c·z. Если доподлинно известно, что z не равно 0, то справедливо равенство 
.
8. Понятие функции комплексного переменного.
Рассмотрим в комплексной плоскости (Z) два множества E и D (не пустые).
Отображение множества 
на множество 
называется функцией комплексного переменного (D может принадлежать другой плоскости (W)). Любому Z0, принадлежащему E, указан каким-то способом одним элемент из D).
Пусть Z = x+i·y, W = u+i·v. Очевидно, что задание функции комплексного переменного эквивалентно следующему: каждой паре 
(Е здесь принадлежит декартовой плоскости) ставится в соответствие два числа v и u. Следовательно, задание функции комплексного переменного W = f(Z) эквивалентно заданию вещественных функций u = u(x,y), v = v(x,y). При этом мы имеем f(Z) = u(x,y) + i·v(x,y).
Функция u(x,y) называется вещественной частью функции f(Z), а v(x,y) мнимой частью f(Z). Таким образом, Ref(Z) = u(x,y) , Imf(Z) = v(x,y).
Например, для функции W = Z2 = (x +i·y)2 = x2 – y2 + 2·i·x·y вещественная часть ReZ2 = x2 – y2, ImZ2 = 2·x·y.
Геометрически, как отображение множества 
на множество 
.
Скидка 30% по промокоду Diplom2020
Получи промокод на скидку 20%
