Учебные материалы по математике | Корень n – ой степени из комплексного числа | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Корень n – ой степени из комплексного числа


Рассмотрим два комплексных числа с1 и с2, с20. . По определению частного с1 = с·с2 = ·с2.

Arg c1 = Arg + Arg c2

Arg = Arg c1 — Arg c2

Итак, с = = [cos(Arg c1 — Arg c2)+i·sin(Arg c1 — Arg c2)]

Комплексное число с = изображается вектором, который получается из вектора с1 путем его сжатия в раз, затем поворотом полученного вектора на угол (-Arg c2)

6. Корень n – ой степени из комплексного числа

Возьмем произвольное комплексное число с и натуральное число n 2.

Комплексное число Z называется корнем n–ой степени из комплексного числа c, если Zn = c.

Найдем все значения корня nой степени из комплексного числа с. Пусть c=|c|·(cos Arg c+i·sin Arg с), а Z = |Z|·(сos Arg Z + i·sin Arg Z), где Z корень nой степени из комплексного числа с. Тогда должно быть = c = |c|·(cos Arg c+i·sin Arg с). Отсюда следует, что и n·Arg Z = Arg с Arg Z = (k=0,1,…). Следовательно, Z = (cos + i·sin ), (k=0,1,…). Легко увидеть, что любое из значений , (k=0,1,…) отличается от одного из соответствующих значений ,(k = 0,1,…,n-1) на кратное . Поэтому

, (k = 0,1,…,n-1).

7. Предел последовательности комплексных чисел

Комплексно-значная функция натурального аргумента называются последовательностью комплексных чисел и обозначаетсяn) или с1, с2, …, сn. сn = аn+bn·i (n = 1,2, …) комплексные числа.

с1, с2, … — члены последовательности; сn – общий член

Комплексное число с = a+b·i называется пределом последовательности комплексных чисел (cn), где сn = аn+bn·i (n = 1, 2, …), где для любого , что при всех n > N выполняется неравенство . Последовательность, имеющая конечный предел называется сходящейся последовательностью.

Теорема.

Для того, чтобы последовательность комплексных чисел (сn) (сn = аn+bn·i) сходилась к числу с = a+b·i, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство lim an = a, lim bn = b.

Теорема.

Пусть последовательность комплексных чисел (сn) и (zn) сходятся соответственно к с и z, тогда справедливо равенства limn zn) = c z, limn·zn) = c·z. Если доподлинно известно, что z не равно 0, то справедливо равенство .

8. Понятие функции комплексного переменного.

Рассмотрим в комплексной плоскости (Z) два множества E и D (не пустые).

Отображение множества на множество называется функцией комплексного переменного (D может принадлежать другой плоскости (W)). Любому Z0, принадлежащему E, указан каким-то способом одним элемент из D).

Пусть Z = x+i·y, W = u+i·v. Очевидно, что задание функции комплексного переменного эквивалентно следующему: каждой паре (Е здесь принадлежит декартовой плоскости) ставится в соответствие два числа v и u. Следовательно, задание функции комплексного переменного W = f(Z) эквивалентно заданию вещественных функций u = u(x,y), v = v(x,y). При этом мы имеем f(Z) = u(x,y) + i·v(x,y).

Функция u(x,y) называется вещественной частью функции f(Z), а v(x,y) мнимой частью f(Z). Таким образом, Ref(Z) = u(x,y) , Imf(Z) = v(x,y).

Например, для функции W = Z2 = (x +i·y)2 = x2y2 + 2·i·x·y вещественная часть ReZ2 = x2y2, ImZ2 = 2·x·y.

Геометрически, как отображение множества на множество .

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод