Учебные материалы по математике | Координаты вектора | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Координаты вектора


Аналогичное противоречие получим, если допустим, что , значит .

Итак, ▲.

Теорема 2. Если пространство имеет базис, состоящий из п векторов, то любая линейно независимая система, содержащая п векторов, также образует базис пространства .

Доказательство: Пусть — базис пространства , а — произвольная линейно независимая система векторов. Покажем, что система (2) — базис . Для этого надо показать, что (2) удовлетворяет второму условию определения базиса, т. е. что любой вектор пространства линейно выражается через векторы системы (2).

Пусть , добавим его к системе (2), получим систему . Так как (1) — базис , то любой вектор пространства , а значит любой вектор системы (3) линейно выражается через вектора системы (1), а тогда х линейно выражается через векторы системы (2). ▲.

Опр.2. Если пространство имеет базис, то называется конечномерным, а число векторов в любом базисе называется размерностью пространства и обозначается . В противном случае называется бесконечномерным. Если — конечномерное и , то называют также п-мерным векторным пространством.

В п-мерном векторном пространстве любая система векторов, содержащая более чем п векторов, линейно зависима. А в бесконечномерном векторном пространстве можно найти систему из любого числа линейно независимых векторов.

Примеры:

1. п-мерное пространство. Базис — .

2. — пространство матриц размера над полем Р — конечномерное пространство, размерность , базисом, например, будут векторы , ,…,,,…, где е — единичный элемент поля Р.

3. — пространство многочленов от одной переменной х над полем Р, бесконечномерно, т. к. можно найти линейно независимую систему векторов, состоящую из п векторов — .

4. — пространство многочленов от одной переменной х над полем Р степени не выше п; конечномерно, размерности . Базис, например, .

5. Множество всех комплексных чисел есть векторное пространство над полем действительных чисел размерности 2; базис, например, .

6. Любое поле Р есть векторное пространство над самим собой размерности 1; базис, например, единица е поля Р.

Координаты вектора

Опр.3. Пусть п-мерное векторное пространство над полем Р; — базис Тогда . Коэффициенты этого разложения называют координатами вектора х в базисе .

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод