Координаты вектора

Аналогичное противоречие получим, если допустим, что , значит .

Итак, ▲.

Теорема 2. Если пространство имеет базис, состоящий из п векторов, то любая линейно независимая система, содержащая п векторов, также образует базис пространства .

Доказательство: Пусть — базис пространства , а — произвольная линейно независимая система векторов. Покажем, что система (2) — базис . Для этого надо показать, что (2) удовлетворяет второму условию определения базиса, т. е. что любой вектор пространства линейно выражается через векторы системы (2).

Пусть , добавим его к системе (2), получим систему . Так как (1) — базис , то любой вектор пространства , а значит любой вектор системы (3) линейно выражается через вектора системы (1), а тогда х линейно выражается через векторы системы (2). ▲.

Опр.2. Если пространство имеет базис, то называется конечномерным, а число векторов в любом базисе называется размерностью пространства и обозначается . В противном случае называется бесконечномерным. Если — конечномерное и , то называют также п-мерным векторным пространством.

В п-мерном векторном пространстве любая система векторов, содержащая более чем п векторов, линейно зависима. А в бесконечномерном векторном пространстве можно найти систему из любого числа линейно независимых векторов.

Примеры:

1. — п-мерное пространство. Базис — .

2. — пространство матриц размера над полем Р — конечномерное пространство, размерность , базисом, например, будут векторы , ,…,,,…, где е — единичный элемент поля Р.

3. — пространство многочленов от одной переменной х над полем Р, бесконечномерно, т. к. можно найти линейно независимую систему векторов, состоящую из п векторов — .

4. — пространство многочленов от одной переменной х над полем Р степени не выше п; конечномерно, размерности . Базис, например, .

5. Множество всех комплексных чисел есть векторное пространство над полем действительных чисел размерности 2; базис, например, .

6. Любое поле Р есть векторное пространство над самим собой размерности 1; базис, например, единица е поля Р.

Координаты вектора

Опр.3. Пусть — п-мерное векторное пространство над полем Р; — базис Тогда . Коэффициенты этого разложения называют координатами вектора х в базисе .