Учебные материалы по математике | Конспект по высшей математике | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Конспект по высшей математике


1.  Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка, теорема существования и единственности ее решения. Геометрическая интерпретация решений дифференциальных уравнений первого порядка, метод изоклин.

Осн. понятия.

О. Соотнош. F(x, y,y’,y’’,…y(n))=0 связывающ. неизвестную, незав. переменную х, у=у(х) и ее производную наз. обыкновенным ДУ.

ДУ в кот. искомая переменная у зависит только от одной переменной х наз. обыкновенной. Порядком ду наз. наивысшый порядок производной искомой функции, входящим в уравнение. Решением ду n-ого порядка на инт.(а;b) наз. ф-ция у=у(х) определенная на (а;b) вместе со своими производными до n-ого порядка включительно.

y(x)€С(n) (a;b) F(x, y(x),y’(x),y”(x),¼y(n)(x))≡0; "x€(a;b). Если иск. ф-ция опред. неявно, соотношение j(х, у)=0, то такое решение наз. интегралом ду. Процесс нахождения решения ду наз. интегралом этого ур-ния. График реш. наз. диф. кривой ду. Ду считается решенным если оно приведено к квадратурам (т. е. к операциям взятия интегралов).

Ду 1-ого порядка.

F(x, y,y’)=0; y’=f(x, y) – ур-ние, разрешенное относит. 1-ого порядка в диф. форме (1).

dy/dx=f(x, y), dy-f(x, y)dx=0, Q(x, y)¹0, P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0.

Рассм. ур-ние (1) нач. условие у|x=x0=y0 или у(х0)=у0 интегр. крив. проход. через М0(х0,у0) (2)

Задача отыскания реш. у(х) ур-ния (1), удовлетв. нач условию (2) наз задачей Коши или начальной задачей.

Задача Коши:

Т1 (сущ-ния и единственности решения ЗК): Пусть y¢=f(x, y) (1), где f(x, y) опред. В некот. области Д Ì R2. Выберем точку М0(x0, y0) Î Д. Если $ окр-сть W точки М0, в кот. 1) f(x, y) непрерывна по совокупности переменных x, y; 2) ограничена, то найдется интервал (х0-d, х0+d), на котором $ единств. решение ЗК.

Замечания: 1) Т1 носит локальный характер; 2) Т1 дает достаточное условие $-ния единственности решения ЗК, это означает, что может $ единств. решение ЗК, даже если в точке (x0, y0) невыполнимы условия теоремы. Из Т1 вытекает, что в области W ур-ние (1) имеет бесконечное мн-во решений. Решение ДУ предст. собой семейство решений y=j(x, C), где С – произвол. постоянная. Общим решением ДУ y¢=f(x, y) в некот. области W $-ния и един-сти решения ЗК называется однопараметрич. семейство S ф-ции вида y=j(x, C), зависящих от х и С, такой что 1) при " допустим. значениях произвол. постоянной С y=j(x, C) Î S явл. решением ур-ния (1) на (х0-d, х0+d); 2) для " нач. условия у|x=x0=y0 $ такое единств. значение С0 постоянной С, что решение y=j(x, С0) удовлетв. нач. условию j(x0, C0)=y0. Предполагается, что (x0, y0) Î W. Частным реше-нием ДУ (1) наз. решение, получаемое из общего решения при каком-либо конкретном значе-нии произвол. постоянной С (включая ±¥). Часто общее решение можно получить только в неявном виде Ф(x, y, C)=0, в этом случае общее решение наз. общим интегра-лом. Частное решение в неявном виде Ф(x0, y0, C)=0 наз. частным интегралом. Если область W — открытое мн-во, то понятие общего решения может быть распространено и на замыкание мн-ва W (W = W È ¶ W). На границе един-сть решения ЗК может быть нару-шена, т. е. помимо ф-ций семейства S могут $ и другие решения ЗК. Решение y=y(х) ДУ (1) наз. особым решением, если в каждой его точке нарушается св-во единственности, т. е. через каждую его точку проходит и другое решение ур-ния (1), не совпадающее с ним в сколь угодно малой окр-сти точки (x0, y0).

Метод изоклин. y¢=f(x, y) (1) – ур-ние определяет поле направленности. tga=f(x, y). Кривая, в каждой точке которой наклон поля, определяемый диф. ур-нием (1), один и тот же, наз. изоклиной этого ур-ния. Семейство изоклин задается ур-нием f(x, y)=k, где k – некот. числовой параметр.

2.  Ур-ния с разделяющимися переменными. Особые решения.

Ур-ния с разделяющимися переменными.

P(x)dx+Q(y)dy=0 (1) – ур-ние с раздел. пер-ми. ò P(x)dx+ò Q(y)dy=С – особых решений нет

M1(x)N1(y)dx+M2(x)N2(y)dy=0 (2); y¢=dy / dx=f1(x)f2(y) (3)

; — общий интеграл

dy / dt=ky – матем. модель динамики популяции; k=m-n, где m – коэф. относ-ти скорости рождаемости, n – -//- умирания; m=b1-b2y; n=b3+b4y; k= b1-b2y-b3-b4y=b1-b3-(b2+b4)y= =(b2+b4)((b1-b3) / (b2+b4)-y)= a(A-y). dy / dt=a(A-y) – логистическое ур-ние

y=; C=1-A / y0; y=

Особые решения.

M1(x)N1(y)dx+M2(x)N2(y)dy=0; N1(y) ¹ 0, M2(x) ¹ 0; N1(y) = 0; y=b

M1(x)N1(b)dx+M2(x)N2(b)db=0; M2(x) = 0; x=a

Решения y=b и x=a могут быть получены при каких-либо произвол. значениях С (вкл. ±¥). В противном случае – это особые решения. Других особых решений у ур-ний с раздел. пер-ми НЕТ. Мы должны искать точку (a, b), т. к. в этой точке поле направления неопределено. Геометрически, особому решению соотв. интегральная кривая, не содержащаяся в семействе интегральных кривых, составляющих общее решение. Ф(x, y,C)=0, y¢=f(x, y) – общий интеграл определяет однонаправленное семейство интегр. кривых. Огибающее семейство интегр. кривых предст. собой особое решение ДУ. Огибающая – это такая кривая, кот. в каждой точке касается хотя бы одной кривой семейства Ф(x, y,C)=0 и на наклонном участке не совпадает ни с одной кривой этого семейства.

3. Однородные ДУ 1-го порядка.

Ф-ция f(x, y) наз. однородной порядка a относит. x и y, если справедливо f(tx, ty)=taf(x, y).

ДУ 1-го пор. P(x, y)dx+Q(x, y)=0 (1) наз. однородным ДУ 1-го пор., если P(x, y) и Q(x, y) – однородные ф-ции одного одного порядка. y¢= — — однород. ф-ция 0-го пор.

Ур-ние y¢=f(x, y) (2) наз. однородным ДУ 1-го пор., если f(x, y) однород. ф-ция 0-го пор.

4. Линейные ДУ 1-го пор.

Ур-ние вида y¢+p(x)y=q(x) (1) наз. линейным ДУ 1-го пор., если p(x) и q(x) непрерывны на (a, b). q(x)º0, y¢+p(x)y=0 (2). Ур-ние вида (2) наз. ЛОДУ 1-го пор. Если q(x)¹0, то ур. (1) наз. ЛНДУ. Сущ. неск. методов решения ЛДУ 1-го пор.:

5. Уравнение Бернулли.

Метод Бернулли: y=u(x)v(x); y¢=u¢(x)v(x)+u(x)v¢(x) – подставим в (1);

u¢v+uv¢+p(x)uv=q(x); u¢v+u(v¢+p(x)v)=q(x); v¢+p(x)v=0; dv/v+p(x)dx=0; v(x) при С=1;

u¢v=q(x); u=u(x, C) – общ. решение; y=u(x, C)v(x).

yон=yчн+yоо – структура общего решения неоднород. ур-ния.

Метод Лагранжа (вариации произвол. постоянной): dy/y+p(x)dx=0; yоо=Ce — òp(x)dx; yон=C(x)e — òp(x)dx подст. в (1). Метод Лагранжа обобщается на ЛДУ высших порядков.

Замечание: Иногда ДУ явл. лин. относит. х как ф-ция у: х¢+p(у)х=q(у).

Ур-ние Бернулли.

ДУ вида y¢+p(x)y=q(x)уa, где aÎR, a¹0, a¹1, наз. ур-нием Бернулли. Домножим ур-ние Бернулли на у — a: у — ay¢+p(x)у 1-a=q(x), z=у 1-a, z¢=(1-a)у — aу¢, z¢+(1-a)p(x)z=(1-a)q(x)– ЛУ

При a>1, y=0 – частное решение, при 0<a<1, у=0 – общее решение.

6. Ур-ния полных дифференциалов.

ДУ вида P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0 (1), где (х, у)ÎДÌ R2 наз. ур-нием полных диф-ов, если его левая часть предст. собой полный дифференциал ф-ции u(x, y). Ур-ние (1) с непрерывными ф-циями P(x, y) и Q(x, y) в односвязной области ДÌ R2 явл. ур-нием полных диф-ов тогда и только тогда, когда .

7. ДУ высших порядков. Задачи Коши для дифференциальных уравнений высших порядков, теорема существования и единственности ее решения. Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.

F(x, y, y¢,…, y(n))=0 (1), y(n)=f(x, y, y¢,…, y(n-1)) (2). Для выделения частного решения ДУ (2) надо задать n условий: у|x=x0=y0; у¢|x=x0=y¢0;…; у(n-1)|x=x0=y0(n-1) (3), где y0, y¢0,…, у(n-1) — некот. числа.

Т ($-ния и един-сти решения задачи Коши): Пусть задано ДУ вида (2). Если ф-ция f(x, y, y¢,…, y(n-1)) непрерывна по сов-сти аргументов x, y, y¢,…, y(n-1) в некот. окр-сти W точки М0(x0, y0, y0¢,…, y0(n-1)) ÎRn+1, то найдется такая окр-сть (х0-d, х0+d) оси Ох, на кот. $ по крайней мере одно решение у=j(х) ЗК.

Если кроме того ф-ция f(x, y, y¢,…, y(n-1)) имеет огранич. частные производные , ,…, в указанной окр-сти W, то решение будет единственным. Общим решением ДУ (2) в некот. обл-сти W $-ния и един-сти решения ЗК наз. n-параметрич. семейство S ф-ций у=j(х, С1, С2,…, Сn), зависящих от х и n произвол. постоянных С1, С2,…, Сn, такое что: 1) при любых допустим. значениях С1, С2,…, Сn ф-ция у=j(х, С1, С2,…, Сn) явл. решением ДУ (2) на (х0-d, х0+d); 2)для любых нач. условий у|x=x0=y0; у¢|x=x0=y¢0;…; у(n-1)|x=x0=y0(n-1) (лишь бы точка М0(x0, y0, y0¢,…, y0(n-1)) ÎW) можно так единств. образом подобрать значения С10, С20,…, Сn0, чтобы решение у=j(х, С10, С20,…, Сn0) удовлетворяло этим заданным начальным условиям.

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод