Конспект по высшей математике

Т1 (сущ-ния и единственности решения ЗК): Пусть y¢=f(x, y) (1), где f(x, y) опред. В некот. области Д Ì R2. Выберем точку М0(x0, y0) Î Д. Если $ окр-сть W точки М0, в кот. 1) f(x, y) непрерывна по совокупности переменных x, y; 2) ограничена, то найдется интервал (х0-d, х0+d), на котором $ единств. решение ЗК.

Замечания: 1) Т1 носит локальный характер; 2) Т1 дает достаточное условие $-ния единственности решения ЗК, это означает, что может $ единств. решение ЗК, даже если в точке (x0, y0) невыполнимы условия теоремы. Из Т1 вытекает, что в области W ур-ние (1) имеет бесконечное мн-во решений. Решение ДУ предст. собой семейство решений y=j(x, C), где С – произвол. постоянная. Общим решением ДУ y¢=f(x, y) в некот. области W $-ния и един-сти решения ЗК называется однопараметрич. семейство S ф-ции вида y=j(x, C), зависящих от х и С, такой что 1) при " допустим. значениях произвол. постоянной С y=j(x, C) Î S явл. решением ур-ния (1) на (х0-d, х0+d); 2) для " нач. условия у|x=x0=y0 $ такое единств. значение С0 постоянной С, что решение y=j(x, С0) удовлетв. нач. условию j(x0, C0)=y0. Предполагается, что (x0, y0) Î W. Частным реше-нием ДУ (1) наз. решение, получаемое из общего решения при каком-либо конкретном значе-нии произвол. постоянной С (включая ±¥). Часто общее решение можно получить только в неявном виде Ф(x, y, C)=0, в этом случае общее решение наз. общим интегра-лом. Частное решение в неявном виде Ф(x0, y0, C)=0 наз. частным интегралом. Если область W — открытое мн-во, то понятие общего решения может быть распространено и на замыкание мн-ва W (W = W È ¶ W). На границе един-сть решения ЗК может быть нару-шена, т. е. помимо ф-ций семейства S могут $ и другие решения ЗК. Решение y=y(х) ДУ (1) наз. особым решением, если в каждой его точке нарушается св-во единственности, т. е. через каждую его точку проходит и другое решение ур-ния (1), не совпадающее с ним в сколь угодно малой окр-сти точки (x0, y0).

Метод изоклин. y¢=f(x, y) (1) – ур-ние определяет поле направленности. tga=f(x, y). Кривая, в каждой точке которой наклон поля, определяемый диф. ур-нием (1), один и тот же, наз. изоклиной этого ур-ния. Семейство изоклин задается ур-нием f(x, y)=k, где k – некот. числовой параметр.

2.  Ур-ния с разделяющимися переменными. Особые решения.

Ур-ния с разделяющимися переменными.

P(x)dx+Q(y)dy=0 (1) – ур-ние с раздел. пер-ми. ò P(x)dx+ò Q(y)dy=С – особых решений нет

M1(x)N1(y)dx+M2(x)N2(y)dy=0 (2); y¢=dy / dx=f1(x)f2(y) (3)

; — общий интеграл

dy / dt=ky – матем. модель динамики популяции; k=m-n, где m – коэф. относ-ти скорости рождаемости, n – -//- умирания; m=b1-b2y; n=b3+b4y; k= b1-b2y-b3-b4y=b1-b3-(b2+b4)y= =(b2+b4)((b1-b3) / (b2+b4)-y)= a(A-y). dy / dt=a(A-y) – логистическое ур-ние

y=; C=1-A / y0; y=

Особые решения.

M1(x)N1(y)dx+M2(x)N2(y)dy=0; N1(y) ¹ 0, M2(x) ¹ 0; N1(y) = 0; y=b

M1(x)N1(b)dx+M2(x)N2(b)db=0; M2(x) = 0; x=a

Решения y=b и x=a могут быть получены при каких-либо произвол. значениях С (вкл. ±¥). В противном случае – это особые решения. Других особых решений у ур-ний с раздел. пер-ми НЕТ. Мы должны искать точку (a, b), т. к. в этой точке поле направления неопределено. Геометрически, особому решению соотв. интегральная кривая, не содержащаяся в семействе интегральных кривых, составляющих общее решение. Ф(x, y,C)=0, y¢=f(x, y) – общий интеграл определяет однонаправленное семейство интегр. кривых. Огибающее семейство интегр. кривых предст. собой особое решение ДУ. Огибающая – это такая кривая, кот. в каждой точке касается хотя бы одной кривой семейства Ф(x, y,C)=0 и на наклонном участке не совпадает ни с одной кривой этого семейства.

3. Однородные ДУ 1-го порядка.

Ф-ция f(x, y) наз. однородной порядка a относит. x и y, если справедливо f(tx, ty)=taf(x, y).

ДУ 1-го пор. P(x, y)dx+Q(x, y)=0 (1) наз. однородным ДУ 1-го пор., если P(x, y) и Q(x, y) – однородные ф-ции одного одного порядка. y¢= — — однород. ф-ция 0-го пор.

Ур-ние y¢=f(x, y) (2) наз. однородным ДУ 1-го пор., если f(x, y) однород. ф-ция 0-го пор.

4. Линейные ДУ 1-го пор.

Ур-ние вида y¢+p(x)y=q(x) (1) наз. линейным ДУ 1-го пор., если p(x) и q(x) непрерывны на (a, b). q(x)º0, y¢+p(x)y=0 (2). Ур-ние вида (2) наз. ЛОДУ 1-го пор. Если q(x)¹0, то ур. (1) наз. ЛНДУ. Сущ. неск. методов решения ЛДУ 1-го пор.:

5. Уравнение Бернулли.

Метод Бернулли: y=u(x)v(x); y¢=u¢(x)v(x)+u(x)v¢(x) – подставим в (1);

u¢v+uv¢+p(x)uv=q(x); u¢v+u(v¢+p(x)v)=q(x); v¢+p(x)v=0; dv/v+p(x)dx=0; v(x) при С=1;

u¢v=q(x); u=u(x, C) – общ. решение; y=u(x, C)v(x).

yон=yчн+yоо – структура общего решения неоднород. ур-ния.

Метод Лагранжа (вариации произвол. постоянной): dy/y+p(x)dx=0; yоо=Ce — òp(x)dx; yон=C(x)e — òp(x)dx подст. в (1). Метод Лагранжа обобщается на ЛДУ высших порядков.

Замечание: Иногда ДУ явл. лин. относит. х как ф-ция у: х¢+p(у)х=q(у).

Ур-ние Бернулли.

ДУ вида y¢+p(x)y=q(x)уa, где aÎR, a¹0, a¹1, наз. ур-нием Бернулли. Домножим ур-ние Бернулли на у — a: у — ay¢+p(x)у 1-a=q(x), z=у 1-a, z¢=(1-a)у — aу¢, z¢+(1-a)p(x)z=(1-a)q(x)– ЛУ

При a>1, y=0 – частное решение, при 0<a<1, у=0 – общее решение.

6. Ур-ния полных дифференциалов.

ДУ вида P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0 (1), где (х, у)ÎДÌ R2 наз. ур-нием полных диф-ов, если его левая часть предст. собой полный дифференциал ф-ции u(x, y). Ур-ние (1) с непрерывными ф-циями P(x, y) и Q(x, y) в односвязной области ДÌ R2 явл. ур-нием полных диф-ов тогда и только тогда, когда .

7. ДУ высших порядков. Задачи Коши для дифференциальных уравнений высших порядков, теорема существования и единственности ее решения. Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.

F(x, y, y¢,…, y(n))=0 (1), y(n)=f(x, y, y¢,…, y(n-1)) (2). Для выделения частного решения ДУ (2) надо задать n условий: у|x=x0=y0; у¢|x=x0=y¢0;…; у(n-1)|x=x0=y0(n-1) (3), где y0, y¢0,…, у(n-1) — некот. числа.

Т ($-ния и един-сти решения задачи Коши): Пусть задано ДУ вида (2). Если ф-ция f(x, y, y¢,…, y(n-1)) непрерывна по сов-сти аргументов x, y, y¢,…, y(n-1) в некот. окр-сти W точки М0(x0, y0, y0¢,…, y0(n-1)) ÎRn+1, то найдется такая окр-сть (х0-d, х0+d) оси Ох, на кот. $ по крайней мере одно решение у=j(х) ЗК.

Если кроме того ф-ция f(x, y, y¢,…, y(n-1)) имеет огранич. частные производные , ,…, в указанной окр-сти W, то решение будет единственным. Общим решением ДУ (2) в некот. обл-сти W $-ния и един-сти решения ЗК наз. n-параметрич. семейство S ф-ций у=j(х, С1, С2,…, Сn), зависящих от х и n произвол. постоянных С1, С2,…, Сn, такое что: 1) при любых допустим. значениях С1, С2,…, Сn ф-ция у=j(х, С1, С2,…, Сn) явл. решением ДУ (2) на (х0-d, х0+d); 2)для любых нач. условий у|x=x0=y0; у¢|x=x0=y¢0;…; у(n-1)|x=x0=y0(n-1) (лишь бы точка М0(x0, y0, y0¢,…, y0(n-1)) ÎW) можно так единств. образом подобрать значения С10, С20,…, Сn0, чтобы решение у=j(х, С10, С20,…, Сn0) удовлетворяло этим заданным начальным условиям.