Конечномерные векторные пространства

Замечаем, что система (7) имеет ненулевые решения (l1,…, lm)¹, т. к. эта система линейных уравнений однородная, в которой число переменных m> числа уравнений k (3), а такая система всегда имеет ненулевые решения (метод Гаусса).

(8) j11l1+…+jm1lm=0

…

j1kl1+…+jmklm=0

(Подставили решение системы и получили справедливые равенства).

Подставим (8) в (6) и получим верное равенство Þ и св-во док-но.

Примеры:

1. Рn = {=(a1,…,an), aiЄP}

Есть + и · на элем. поля Р.

+=(а1+в1, а2+в2,…,аn+вn)

l·=(la1, la2, …, lan)

Арифметическое n-мерное векторное пространство над полем Р.

2. = — множество всех матриц размера m c эл-ми поля Р – векторное пр-во над полем Р.

3. Р[x]- многочлены от одной переменной с коэф-ми из поля Р — векторное пространство над полем Р.

4. Тn={f(n)ЄP[x], ст. fn}

5. Мн-во всех отображений.

V={f: RR}

векторное пространство над полем R отн-но опер. слож. и умн. отобр. на действ. числа.

(f+g)(x)=f(x)+g(x)

(lf)·(x)=l· f(x), lЄR.

6. C – векторное пространство над полем R.

5. Конечномерные векторные пространства. Базис и размерность. Координаты вектора.

Опр1. V≠Ø, Р – поле, V – коммутативная группа относительно алгебр. операции «+» . Пусть определена операция умножения элементов из V на элементы из Р, т. е. каждой паре ā V, сопоставляется элемент, кот. обозначается, если при этом выполнены следующие свойства, то V называется векторным пространством над полем Р:

Опр2. V-векторное пространство над полем Р. Совокупность векторов е1,…,еn(1) называется базисом, если (1) – лин. независима, любой вектор пространства V линейно выражается через вектора е1,…,еn, т. е.

Примеры:

1. V – множество геометр. веторов, лежащих на прямой. V – лин. пространство над R, ā ≠0 – базис. Действительно, λā=, очевидно это равенство справедливо в данном случае, когда λ=0=>(1) – лин. независима. — коллинеарны=> выраж-ся ч. з. (1)

2. V2 – множество геометр. векторов плоскости. — неколлинеарны, т. е не лежат на одной прямой, они образуют базис V2

Т.1.Два различных базиса одной и той же системы векторов векторного пространства V над полем P содержат одинаковое кол-во векторов.

Док-во: Рассмотр. два базиса: . Предположим, что m≠n, n>m. Замечаем, что (2)(1), (1)-базис, значит (2)-лин. зависима, что противоречит тому факту, что (2)-базис, а значит лин. независима.

Т.2. Пусть баис лин. пространства V состоит из n векторов, тогда любую лин. независимую совокупность из k векторов (k<n) можно дополнить до базиса.

Док-во: Пусть — базис V,— лин. независимая (k<n)

Дополним систему (2) до базиса V

Очевидно найдётся векторсистема векторов — лин. независима. В противном случае, т. е. ,(3)-лин. зависима, значит -базис V(чего быть не может, т. к. k<n)

1) если k+1=n, то система (3)-базис V

2) если k+1≤n, то рассуждая, найдётся — лин. независима.

3) если k+2=n, то (4)-базис.

4) если k+2<n, аналогично.

Очевидно, через конечное число таких шагов мы придём к (5) — базис V, где k+t=n

Опр3. Если существует базис пространства V, то пространство конечномерное, а число векторов в любом его базисе размерность пространства V: dimV, в прот. случае пр-во наз-ся бесконечномерным. Если dimV=n, то пространство n-мерное. Если V только из «0»-го вектора, то V-нулевое пространство, а его размерность =0.

Пример: Р – поле, 0Р

V={0} – лин. пространство любого базиса над Р. λ0=0,λР. Замечаем, что пространство V базиса не имеет, т. к. равенство 0.0=0 выполняется для λР. Размерность этого пространства 0.

Т.3. Если базис векторного пространства V над полем P состоит из n векторов, то любая система из к векторов (к >n), лин. зависима.

Т.4. — базис V,— лин. независимая, то (2) – базис.

Т.5. Любой вектор ā из n- мерного пространства V единственным способом представляется в виде лин. комбинации векторов базиса.

Док-во: V — n — мерное векторное пространство(1) — базис V из n векторов.

По опр. базиса любой ā является комбинацией векторов (1): Легко заметить, что коэффициенты определяются однозначно. Действительно, пусть имеется ещё одно разложение (3).

(2),(3) Опр4. (1) — базис V, (*). По предыдущей теор. определяются единственным образом и называются координатами вектора ā в базисе (1).