Учебные материалы по математике | Конечномерные векторные пространства | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Конечномерные векторные пространства


Замечаем, что система (7) имеет ненулевые решения (l1,…, lm)¹, т. к. эта система линейных уравнений однородная, в которой число переменных m> числа уравнений k (3), а такая система всегда имеет ненулевые решения (метод Гаусса).

(8) j11l1+…+jm1lm=0

j1kl1+…+jmklm=0

(Подставили решение системы и получили справедливые равенства).

Подставим (8) в (6) и получим верное равенство Þ и св-во док-но.

Примеры:

1. Рn = {=(a1,…,an), aiЄP}

Есть + и · на элем. поля Р.

+=(а1+в1, а2+в2,…,аn+вn)

=(la1, la2, …, lan)

Арифметическое n-мерное векторное пространство над полем Р.

2. = — множество всех матриц размера m c эл-ми поля Р – векторное пр-во над полем Р.

3. Р[x]- многочлены от одной переменной с коэф-ми из поля Р — векторное пространство над полем Р.

4. Тn={f(n)ЄP[x], ст. fn}

5. Мн-во всех отображений.

V={f: RR}

векторное пространство над полем R отн-но опер. слож. и умн. отобр. на действ. числа.

(f+g)(x)=f(x)+g(x)

(lf)·(x)=l· f(x), lЄR.

6. C – векторное пространство над полем R.

5. Конечномерные векторные пространства. Базис и размерность. Координаты вектора.

Опр1. V≠Ø, Р – поле, V – коммутативная группа относительно алгебр. операции «+» . Пусть определена операция умножения элементов из V на элементы из Р, т. е. каждой паре ā V, сопоставляется элемент, кот. обозначается, если при этом выполнены следующие свойства, то V называется векторным пространством над полем Р:

Опр2. V-векторное пространство над полем Р. Совокупность векторов е1,…,еn(1) называется базисом, если (1) – лин. независима, любой вектор пространства V линейно выражается через вектора е1,…,еn, т. е.

Примеры:

1. V – множество геометр. веторов, лежащих на прямой. V – лин. пространство над R, ā ≠0 – базис. Действительно, λā=, очевидно это равенство справедливо в данном случае, когда λ=0=>(1) – лин. независима. — коллинеарны=> выраж-ся ч. з. (1)

2. V2 – множество геометр. векторов плоскости. — неколлинеарны, т. е не лежат на одной прямой, они образуют базис V2

Т.1.Два различных базиса одной и той же системы векторов векторного пространства V над полем P содержат одинаковое кол-во векторов.

Док-во: Рассмотр. два базиса: . Предположим, что m≠n, n>m. Замечаем, что (2)(1), (1)-базис, значит (2)-лин. зависима, что противоречит тому факту, что (2)-базис, а значит лин. независима.

Т.2. Пусть баис лин. пространства V состоит из n векторов, тогда любую лин. независимую совокупность из k векторов (k<n) можно дополнить до базиса.

Док-во: Пусть — базис V,— лин. независимая (k<n)

Дополним систему (2) до базиса V

Очевидно найдётся векторсистема векторов — лин. независима. В противном случае, т. е. ,(3)-лин. зависима, значит -базис V(чего быть не может, т. к. k<n)

1) если k+1=n, то система (3)-базис V

2) если k+1≤n, то рассуждая, найдётся — лин. независима.

3) если k+2=n, то (4)-базис.

4) если k+2<n, аналогично.

Очевидно, через конечное число таких шагов мы придём к (5) — базис V, где k+t=n

Опр3. Если существует базис пространства V, то пространство конечномерное, а число векторов в любом его базисе размерность пространства V: dimV, в прот. случае пр-во наз-ся бесконечномерным. Если dimV=n, то пространство n-мерное. Если V только из «0»-го вектора, то V-нулевое пространство, а его размерность =0.

Пример: Р – поле, 0Р

V={0} – лин. пространство любого базиса над Р. λ0=0,λР. Замечаем, что пространство V базиса не имеет, т. к. равенство 0.0=0 выполняется для λР. Размерность этого пространства 0.

Т.3. Если базис векторного пространства V над полем P состоит из n векторов, то любая система из к векторов (к >n), лин. зависима.

Т.4. — базис V,— лин. независимая, то (2) – базис.

Т.5. Любой вектор ā из n- мерного пространства V единственным способом представляется в виде лин. комбинации векторов базиса.

Док-во: V — n — мерное векторное пространство(1) — базис V из n векторов.

По опр. базиса любой ā является комбинацией векторов (1): Легко заметить, что коэффициенты определяются однозначно. Действительно, пусть имеется ещё одно разложение (3).

(2),(3) Опр4. (1) — базис V, (*). По предыдущей теор. определяются единственным образом и называются координатами вектора ā в базисе (1).

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод