Компьютерное домашнее задание по дифурам
Дисциплина «Дифференциальные уравнения».
ВШЭ, ПМИ, курс 2. 2012/2013 учебный год. Модуль 4.
Компьютерное домашнее задание № 1. Выдано 8 апреля 2013 г.
Решения задач следует сопроводить необходимыми комментариями, оформить на компьютере и сдать в электронном виде. Все графики должны быть построены на компьютере.
Решения, сданные 18 апреля, оцениваются из 10 баллов, сданные 25 апреля – из 5 баллов, сданные позже – проверяются, но в баллах не оцениваются.
Ниже m – это номер вашей фамилии в списке группы, n=1, 2, 3 – номер группы.
Задача 1. Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение второго порядка
(1)
Запишите его в виде системы. Численно определите фундаментальную систему решений для (1). Оцените погрешность выполнения уравнения Лиувилля — Остроградского для этих численных решений. Оцените мультипликаторы этого уравнения и сделайте вывод об устойчивости или неустойчивости нулевого решения (1). Здесь .
Задача 2. Игра с постоянной суммой. В каждом раунде возможны 3 исхода: движение направо – вероятность q, движение налево р. Вероятность ничьей 1— q-p. Требуется определить вероятность окончательного выигрыша каждой из сторон при условии, что в начальный момент стороны имеют левый игрок — M и правый — N рублей, соответственно. А ставка в каждом раунде 10n коп., где n – номер группы. Также нужно определить математическое ожидание времени окончания игры, если один раунд занимает 1 минуту.
m |
q |
p |
M |
N |
1 |
0,31 |
0,08 |
8 |
2 |
2 |
0,42 |
0,19 |
6 |
7 |
3 |
0,54 |
0,33 |
10 |
8 |
4 |
0,51 |
0,20 |
10 |
5 |
5 |
0,62 |
0,10 |
7 |
4 |
6 |
0,19 |
0,50 |
5 |
10 |
7 |
0,43 |
0,27 |
4 |
1 |
8 |
0,52 |
0,17 |
8 |
4 |
9 |
0,42 |
0,37 |
2 |
1 |
10 |
0,73 |
0,09 |
9 |
3 |
11 |
0,26 |
0,12 |
8 |
2 |
12 |
0,41 |
0,32 |
6 |
10 |
13 |
0,49 |
0,09 |
7 |
2 |
14 |
0,27 |
0,59 |
8 |
4 |
15 |
0,05 |
0,27 |
1 |
4 |
16 |
0,41 |
0,43 |
9 |
4 |
17 |
0,37 |
0,30 |
3 |
7 |
18 |
0,64 |
0,12 |
6 |
6 |
19 |
0,43 |
0,16 |
8 |
1 |
20 |
0,59 |
0,12 |
10 |
5 |
21 |
0,33 |
0,52 |
1 |
11 |
22 |
0,21 |
0,17 |
10 |
7 |
23 |
0,23 |
0,07 |
4 |
9 |
24 |
0,55 |
0,09 |
3 |
10 |
25 |
0,57 |
0,35 |
5 |
2 |
26 |
0,29 |
0,32 |
10 |
11 |
27 |
0,31 |
0,27 |
4 |
3 |
28 |
0,11 |
0,22 |
5 |
2 |
29 |
0,44 |
0,41 |
3 |
5 |
Задача 3. Методом Ньютона, начиная с точек в квадрате G со стороной L=5 c центром в точке , найти корни уравнения (1-е уравнение – 1 группа, 2-е – 2 группа, 3-е – 3 группа)
,
,
.
Оценить радиус окрестности корня, попадание в которую при итерациях уже гарантирует монотонную сходимость последовательности к корню. Описать (построить картинки) бассейны притяжения этих корней.
Примечание. Если точка вышла из G и при 100 итерациях ни разу не вернулась, считать ее эмигрировавшей навсегда, и такие точки помечать особым цветом. Параметры задачи см. Табл.2.
При каком b (вместо указанного в условии) уравнение будет иметь кратный корень?
m |
Re(a) |
Im(a) |
Re(b) |
Im(b) |
1 |
-1,8 |
0,9 |
-1,4 |
1,0 |
2 |
-1,5 |
-1,9 |
-1,0 |
0,6 |
3 |
-1,0 |
-1,4 |
1,1 |
-1,0 |
4 |
0,3 |
0,9 |
-1,2 |
1,4 |
5 |
1,1 |
-1,5 |
1,6 |
0,5 |
6 |
1,8 |
-0,5 |
-2,4 |
1,2 |
7 |
0,5 |
1,4 |
-0,8 |
-1,9 |
8 |
-1,4 |
-1,5 |
-1,9 |
0,2 |
9 |
-2,4 |
-1,4 |
-1,3 |
1,2 |
10 |
0,0 |
2,1 |
1,1 |
-1,2 |
11 |
-0,4 |
1,0 |
-0,4 |
1,7 |
12 |
0,3 |
-0,8 |
1,0 |
1,4 |
13 |
-0,8 |
-1,6 |
1,1 |
1,2 |
14 |
-2,0 |
-1,0 |
-2,0 |
1,1 |
15 |
-2,3 |
1,0 |
-1,4 |
2,4 |
16 |
-1,6 |
1,1 |
2,5 |
-0,2 |
17 |
2,4 |
2,1 |
2,0 |
-0,8 |
18 |
-0,5 |
-1,3 |
1,6 |
0,2 |
19 |
2,3 |
-0,2 |
-1,8 |
-2,2 |
20 |
-2,1 |
0,7 |
-1,9 |
-0,5 |
21 |
-1,1 |
-1,9 |
-1,9 |
-0,4 |
22 |
2,3 |
0,5 |
1,2 |
-1,7 |
23 |
2,3 |
0,8 |
-2,1 |
-0,1 |
24 |
-0,2 |
2,3 |
-1,2 |
-0,9 |
25 |
1,7 |
0,4 |
-1,4 |
-2,1 |
26 |
1,3 |
1,3 |
2,1 |
-0,8 |
27 |
2,1 |
1,9 |
0,4 |
-1,8 |
28 |
0,8 |
0,2 |
-2,5 |
-0,8 |
29 |
1,2 |
1,3 |
0,0 |
0,9 |
30 |
2,0 |
0,7 |
-1,6 |
-2,4 |
Для проверки работы программы постройте график модуля невязки уравнения на квадрате G и определите все его нули.
Задача 4. Для уравнения найти асимптотики (два первых слагаемых) решений в окрестности нуля. Используя эту асимптотику и метод Рунге-Кутты, построить решение, ограниченное в нуле и удовлетворяющее условию . Насколько велико отклонение решения, если вместо двух слагаемых асимптотики использовать только одно? Построить графики.