Компьютерное домашнее задание по дифурам

Дисциплина «Дифференциальные уравнения».

ВШЭ, ПМИ, курс 2. 2012/2013 учебный год. Модуль 4.

Компьютерное домашнее задание № 1. Выдано 8 апреля 2013 г.

Решения задач следует сопроводить необходимыми комментариями, оформить на компьютере и сдать в электронном виде. Все графики должны быть построены на компьютере.

Решения, сданные 18 апреля, оцениваются из 10 баллов, сданные 25 апреля – из 5 баллов, сданные позже – проверяются, но в баллах не оцениваются.

Ниже m – это номер вашей фамилии в списке группы, n=1, 2, 3 – номер группы.

Задача 1. Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение второго порядка

(1)

Запишите его в виде системы. Численно определите фундаментальную систему решений для (1). Оцените погрешность выполнения уравнения Лиувилля — Остроградского для этих численных решений. Оцените мультипликаторы этого уравнения и сделайте вывод об устойчивости или неустойчивости нулевого решения (1). Здесь .

Задача 2. Игра с постоянной суммой. В каждом раунде возможны 3 исхода: движение направо – вероятность q, движение налево р. Вероятность ничьей 1— q-p. Требуется определить вероятность окончательного выигрыша каждой из сторон при условии, что в начальный момент стороны имеют левый игрок — M и правый — N рублей, соответственно. А ставка в каждом раунде 10n коп., где n – номер группы. Также нужно определить математическое ожидание времени окончания игры, если один раунд занимает 1 минуту.

Задача 3. Методом Ньютона, начиная с точек в квадрате G со стороной L=5 c центром в точке , найти корни уравнения (1-е уравнение – 1 группа, 2-е – 2 группа, 3-е – 3 группа)

,

,

.

Оценить радиус окрестности корня, попадание в которую при итерациях уже гарантирует монотонную сходимость последовательности к корню. Описать (построить картинки) бассейны притяжения этих корней.

Примечание. Если точка вышла из G и при 100 итерациях ни разу не вернулась, считать ее эмигрировавшей навсегда, и такие точки помечать особым цветом. Параметры задачи см. Табл.2.

При каком b (вместо указанного в условии) уравнение будет иметь кратный корень?

Для проверки работы программы постройте график модуля невязки уравнения на квадрате G и определите все его нули.

Задача 4. Для уравнения найти асимптотики (два первых слагаемых) решений в окрестности нуля. Используя эту асимптотику и метод Рунге-Кутты, построить решение, ограниченное в нуле и удовлетворяющее условию . Насколько велико отклонение решения, если вместо двух слагаемых асимптотики использовать только одно? Построить графики.