Комплексные числа лекция

МАТЕМАТИКА, семестр 1

Лекция 1 Комплексные числа

План лекции

Какие бывают числа? Что такое натуральное число, рациональное число, действительное число, иррациональное число, трансцендентное число? Какие возможны операции над числами в каждом из этих случаев?

Что такое комплексное число, какие операции входят в определение комплексного числа? Сопряженное комплексное число, сложение, вычитание, умножение, деление комплексных чисел. Геометрический смысл операций сложения, вычитания комплексных чисел, умножения комплексных чисел на действительное число. Комплексные числа как векторы на комплексной плоскости.

Модуль и аргумент комплексного числа. Геометрический смысл умножения комплексных чисел. Следствия этого факта: геометрический смысл операций деления, возведения в степень, извлечения корня из комплексных чисел.

Решение квадратных уравнений с произвольным дискриминантом.

1. Развитие понятия числа, числовые множества

Рассмотрим множество натуральных чисел . Для этих чисел операции сложения и умножения дают в результате натуральные числа. Нам знакомы свойства этих операций: , , , , , , . Также для этих чисел можно ввести операцию возведения в натуральную степень , при этом справедливы соотношения , , . Попытка ввести обратные операции приводит нас к необходимости расширения понятия числа. Для множества целых чисел, т. е. для чисел доступно вычитание чисел, обратное сложению чисел. А попытка ввести операцию деление приводит к необходимости Введение операции деление, обратной к операции умножение, приводит к дальнейшему развитию понятия числа, а именно, к введению рациональных чисел.

Рациональными называются числа вида , где является целым числом (), а – натуральное число (). Множество рациональных чисел принято обозначать буквой . Рациональные числа содержат в себе целые числа, их можно понимать как корни уравнения .

Дальнейшее развитие понятия числа можно воспринимать как решение все более сложных уравнений. Например, можно проверить, что уравнение не имеет решение среди рациональных чисел. Конечные и бесконечные десятичные дроби (множество всех точек числовой оси) образуют множество действительных чисел . Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными числами. Как мы видим, иррациональные числа существуют, например, это любой корень уравнения .

Отметим еще одно понятие – трансцендентное число. Это иррациональные числа, которые не являются корнями алгебраического уравнения с целыми коэффициентами. Таких чисел подавляющее большинство на числовой оси. Поэтому все мировые константы являются трансцендентными числами.

2. Комплексные числа, действия над ними

Алгебраическое уравнение не имеет решений на множестве действительных чисел. Расширим понятие числа.

Определение 1. Комплексными числами называются числа вида , где , являются действительными числами, а — условный символ. При этом введены операции сложения и умножения по следующим правилам.

Пусть заданы 2 комплексных числа и , тогда

, . (1)

Обратите внимание, что определение не только вводит новый объект – множество комплексных чисел вида . Также введены операции над этими числами – сложение и умножение по формулам (1). Как запомнить формулы (1) и в чем смыл символа «»? По сути, мы обычным образом раскрываем скобки при проведении арифметических операций и при этом квадрат условного символа заменяем числом .

Для числа число называется действительной частью, а число — мнимой частью этого комплексного числа. При этом используются обозначения , . Два комплексных числа называются сопряженными, если их действительные части равны, а мнимые отличаются знаком. В общем виде парой сопряженных комплексных чисел являются числа и .

Числа и равны тогда о только тогда, когда совпадают их действительные и мнимые части, т. е. выполнены равенства: . Если мнимая часть комплексного числа равна 0, то это число принадлежит множеств действительных чисел Иными словами, множество действительных чисел содержится в множестве комплексных чисел, что можно записать в виде .

Про комплексные числа нельзя сказать, что одно из них больше или меньше другого. В этом смысле их нельзя сравнивать. Можно лишь ответить на вопрос, равны или не равны 2 таких числа.

Комплексное число равно 0 тогда и только тогда, когда равны 0 его действительная и мнимая части. Справедливо равенство и таким свойством обладает лишь число 0.

Комплексное число равно 1 тогда и только тогда, когда его действительная часть равна 1, а мнимая часть равна 0. Справедливо равенство и таким свойством обладает лишь число 1.

В определении даются формулы для сложения и умножения комплексных чисел. Это автоматически порождает ряд дополнительных операций над комплексными числами. Под вычитанием понимается действие, обратное сложению. Поэтому для чисел и справедлива формула . Умножение комплексного числа на действительное число является частным случаем перемножения комплексных чисел, поэтому справедлива формула . Под делением понимается действие, обратное умножению. Заметим, что для чисел и справедливо соотношение . После раскрытия скобок получим формулу

Пример 1. Даны комплексные числа , . Вычислите:
а) , б) , в) , г) , д) , е) ж) .

Решение. В первых 5 пунктах действуем по определению:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

Переходим к последним двум пунктам. Еще раз ответим на вопрос, как поделить 2 комплексных числа? При вычислении в п.. е) можно рассмотреть уравнение или . Раскрывая скобки, приравнивая действительные и мнимые части, мы получим однозначно разрешимую систему для определения неизвестных и . Тем самым частное будет найдено.

На самом деле, есть более простой способ деления комплексных чисел. Заметим, что если комплексное число умножить на сопряженное, то получится действительное число, т. е. . Отсюда .

3. Комплексные числа, как векторы на плоскости

на этой плоскости. Эту плоскость в этом случае называют комплексной плоскостью.

4. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел

Заметим, что справедливы равенства: , , поэтому . Таким образом, запись комплексного числа называется представлением комплексного числа в тригонометрической форме. При этом число называется модулем комплексного числа, а число или угол называется аргументом комплексного числа. Обычно используются обозначения , или . По поводу двух последних обозначений заметим, что аргумент комплексного числа определяется неоднозначно. Если вектор повернуть на угол, кратный , вокруг начала координат, то точка переходит сама в себя. Запись используется для всего набора таких аргументов, а вот запись означает конкретное «главное» значение аргумента комплексного числа, лежащее на промежутке (или ).

5. Геометрический смысл умножения и деления комплексных чисел

Пусть заданы 2 комплексных числа и . Найдем произведение этих двух чисел . С учетом известных тригонометрических формул «синус суммы» и «косинус суммы» эта формула запишется в виде . Итак, при перемножении комплексных чисел модули этих чисел перемножаются, а аргументы складываются.

Так как деление является действием, обратным к умножению, то справедлива формула . Итак, при делении комплексных чисел модули этих чисел делятся, а аргументы вычитаются.

6. Показательная форма записи комплексных чисел

Теории, связанные с комплексными числами, оказали огромное влияние не только на развитие самой математики, но и на решение многих важных прикладных задач. В этих исследованиях приняли участие многие выдающиеся математики. Отметим, что выдающимся математиком Эйлером, родившимся в Швейцарии и проработавшим больше половины своей жизни в России, была доказана формула . С помощью формулы Эйлера комплексное число удобно представлять в показательной форме . Такая краткая и энергичная форма записи комплексных чисел широко используется в технической литературе. Обосновать эту формулу мы сможем несколько позже.

7. Возведение комплексных чисел в натуральную степень

Пусть задано комплексное число в тригонометрической форме. Какое получится число при возведении его в квадрат? Так как при комплексных чисел модули этих чисел перемножаются, а аргументы складываются, то при возведении в квадрат модуль комплексного числа возводится в квадрат, а аргумент умножается на 2.

При возведении комплексного числа в -ю степень модуль этого комплексного числа возводится в -ю степень, а аргумент умножается на . Итак, справедлива формула . Это выражение называется формулой Муавра.