Комплексные числа и комплексная плоскость

  Для комплексных чисел определяют арифметические действия:

Если  и , то

  В частности, если , то . Если  — действительное число, то . Иными словами с выражениями  поступают как с многочленами с переменной , при этом считаем, что . В частности, два числа  и считаются равными, если  и .

        Если  (т. е. ), то существует обратное к  число. Действительно, попробуем найти  в виде . Тогда должно выполниться равенство

  Вычисляя произведение, получим , откуда  и .

  В алгебре показывается, что множество комплексных числе с введенными операциями образует поле. Это, в частности, означает, что общие правила действий с комплексными числами такие же как и с вещественными. Это поле обозначается буквой С.

  Кроме арифметических операций в С вводится операция сопряжения:

.

  Легко проверяется, что и , .

  Множество действительных чисел рассматривается как множество всех тех комплексных чисел, для которых мнимая часть равна нулю. Для таких комплексных числе действия совпадают с обычными арифметическими.

  Заметим, что

                      (1.1)

  Комплексная плоскость. Комплексные числа естественно изображаются точками на плоскости. Если на плоскости выбрать прямоугольную систему координат и на оси абсцисс откладывать действительную часть комплексного числа, а на оси ординат – мнимую часть, то этим устанавливается взаимно однозначное соответствие между комплексными числами и точками плоскости. Тем самым комплексному числу  ставится в соответствие точка с абсциссой  и ординатой . Точку плоскости можно еще описывать ее радиусом–вектором. Тогда становится ясным, что сложению комплексных чисел отвечает сложение радиусов-векторов, их изображающих.

  Легко видеть также, что точки  и  симметричны относительно оси абсцисс. Ось абсцисс теперь естественно называть действительной осью, поскольку на оси абсцисс лежат вещественные числа.

  Плоскость, точки которой отождествлены с комплексными числами, называется комплексной плоскостью. Обозначается она также, как поле комплексных чисел через С.

  Тригонометрическая форма комплексного числа. Комплексное число  иногда удобно записывать в следующей форме

,

где  вещественное число строго большее нуля, а  некоторое вещественное число. Такая форма записи называется тригонометрической.

  Величина  в силу периодичности функции  и  определяется с точностью до целого кратного . Она называется аргументом комплексного числа. Иногда, чтобы подчеркнуть многозначность, ее обозначают через , иногда пишут , помня, что она определяется с точностью до слагаемого вида , где  — целое.

Из равенства

 и                            (1.2)

следует, что . Это число называется модулем комплексного числа и обозначается . Геометрически модуль комплексного числа представляет собой расстояние от начала координат до точки с координатами  и , то есть длину радиуса-вектора, изображающего на плоскости число

  Равенство (1.1) теперь означает, что . Формулу для числа, обратного к можно записать в виде .

  Модуль обладает свойствами:

1.   (неравенство треугольника)

2. 

3.  .

  Свойства 1 и 3 геометрически очевидны, как только мы изобразим комплексные числа точками плоскости. Обоснование свойства 2 дается ниже.

  Рассмотрим вопрос о том, у всякого ли комплексного числа есть тригонометрическая форма и сколькими способами можно записать число в этой форме?

  Если на плоскости ввести систему полярных координат , то, как известно из курса аналитической геометрии, декартовы координаты  и  выражаются через полярные координаты по формулам

  ,

следовательно, любое комплексное число  имеет вид

  Значит  и . Иными словами аргумент комплексного числа -это угол, образованный радиусом-вектором, идущим из начала координат в точку а модуль – это длина этого радиуса-вектора. То есть для отыскания тригонометрической формы достаточно найти полярные координаты соответствующей точки на комплексной плоскости. Так как для начала координат (нуля) вторая полярная координата (угол) не определяется, то тригонометрическая форма нулевого комплексного числа не рассматривается.

  Если каким–то образом получены две тригонометрические формы одного числа, то есть

то очевидно . Поэтому, сокращая равные между собой  и , получим

,

или

Из тригонометрии известно, что отсюда следует

 для некоторого целого.

  Таким образом разные тригонометрические формы могут отличаться только своими аргументами, причем разные аргументы отличаются на слагаемое кратное .

  Для чего нужна тригонометрическая форма?

  Пусть  и  Тогда

  Таким образом при перемножении комплексных числе их модули перемножаются, а аргументы складываются:

(последнее равенство понимается с точностью до слагаемого , где  целое).

   В частности, при возведении числа в целую положительную степень, аргумент умножается на показатель степени:

Частным случаем этого равенства при  является замечательная формула Муавра

                         (1.3)

  Извлечение корней из комплексных чисел. Корнем -ой степени из комплексного числа  называется решение уравнения

.           (1.4)

  Основное преимущество от введения комплексных чисел состоит в том, что во множестве комплексных числе это уравнение всегда имеет решение, чего как известно, не было, когда мы находились во множестве вещественных чисел. Например, извлечь корень из отрицательного числа во множестве вещественных чисел невозможно. Покажем как можно решить уравнение (1.4).

Если , то решение, очевидно, равно нулю.

Если , рассмотрим число  в тригонометрической форме  Тогда

и поэтому

 и

для некоторого целого

  Следовательно, . Поэтому решение уравнения (1.4) равно

где  — любое целое число. На первый взгляд получается бесконечное множество корней, соответствующих бесконечному множеству целых чисел . На самом же деле, как известно, при разных  числа вида

повторяются при разных , и получается ровно  различных комплексных корней вида

при

  В частности при  получается ровно два корня.

  Множества на комплексной плоскости. Если  и  – точки на комплексной плоскости, то расстояние между ними равно длине вектора, соединяющего  и , то есть расстояние между ними равно .

  Окрестностью точки  радиуса  называется множество всех  для которых . Геометрически такая окрестность является открытым кругом с центром в  и радиусом . В дальнейшем окрестность точки  радиуса  будем обозначать через .

  Множество  называется открытым, если каждая его точка входит в него вместе с некоторой окрестностью. Дополнение к открытому множеству называется замкнутым.

  Открытое множество называется связным, если две любые его точки можно соединить ломаной, целиком лежацей в этом множестве.

  Открытое связное множество называется областью. Это понятие является основным для всего курса.

  Области часто описываются с помощью неравенств.

ПРИМЕРЫ

1.  Im z > 0 — верхняя полуплоскость без вещественной оси.

2.  0 < Re z < 1 — вертикальная бесконечная полоса, лежащая между прямыми x = 0 и x = 1, не включая эти прямые.

3.  |z — z0| < r — внутренность круга радиусом r с центром в z0.

4.   — внутренность кольца между окружностями  и .

5.   — внутренность прямого угла, биссектриса которого совпадает с положительной полуосью .

  Множество  называется ограниченным, если существует такое число , что  при всех . Геометрически это означает, что множество  лежит внутри некоторого круга с центром в начале координат. Из всех перечисленных выше примеров только круг из примера 3 является ограниченным множеством.