Комплексная форма интегралов фурье

Комплексная форма интегралов Фурье.

— четная функция.

нечетная функция

x:=0

— интеграл Дерихле.

36. Преобразование Фурье. Косинус — и синус преобразования Фурье

Преобразование Фурье.

f(x) [a, b]

k(x, w) – ядро преобразования

Почти во всех ХХХХХХХ

— преобразование Фурье.

F(w) – прямое преобразование

f(w) – обратное преобразование

F[f]

F(w) – спектральная плотность

| F(w)| — амплитудный спектр

— фазовый спектр

Пусть f(x) – нечетная ф-ция

F(w) – так же нечетная

— синус преобразование Фурье

f(x) – четная функция

F(w) – четная

— косинус преобразование Фурье

f(x) – произвольная функция

37. Кривые и области на комплексной плоскости.

Понятие функции комплексной переменной. Предел и непрерывность.

Кривые и области на комплексной плоскости.

С – расширенная комплексная плоскость

Кривая на комплексной плоскости может быть задана параметрическим уравнением: z=z(t), z=x(t)+iy(t)

Кривая С непрерывна, если х(t), y(t) непрерывна на [a, b]

Кривую С называют гладкой, если х(t), y(t) непрерывно дифференцируется на [a, b] и

Кривую С называют ХХХХХХ — гладкой, если ее можно разбить на конечное число гладких кривых.

1)

2)arg z =pi/4

3) ReZ=2

Частью на комплексной плоскости называется открытое связное множество Д точек: 1. вместе с каждой точкой из Д этому множеству принадлежит и достаточно малый круг с центром в этой точке.

любые 2 точки из Д можно соединить центр кривой лежащей в множестве Д.

Под e — окрестностью точки z0 понимается открытый круг, радиуса С с центром в точке z0/

|z|>R – окрестность бесконечно удаленной точки.

Граничной точкой области Д называют такую точку, которая не принадлежит Д, но в любой окрестности этой точки лежат точки области Д.

Совокупность граничных точек области Д называют границей области.

Область Д с присоединенной к ней границей обозначают и называют замкнутой областью.

Если причина ограниченной области Д связана, то область Д называется односвязной.

Область называется не связанной, если ее граница состоит из n связных замкнутых множеств.

Функции комплексной переменной.

Говорят, что на Д точек плоскости z задана функция w=f(z), если указан закон по которому в каждой точке ZэД ставится в соответствие одна точка или некоторая совокупность точек W.

Функция w=f(z) называется одноХХХХХХ, если каждому z ставится в соответствии только одно число w=f(z). ХХХХХХХХХ

Множество Д называется областью определения функции f(z).

Если каждая точка G является точкой множества значения функции G – область значений функции f(z).

Предел и непрерывность

Пусть f(z) определена и однозначна в некоторой окрестности т. z0=x0+iy0

Число А называют пределом f(z) при z->z0, если

Двойной предел.

Функция f(z) заданная на Д называется непрерывной в т. z0 э Д, если

Для непрерывной f(z) необходимо и достаточно чтобы U(x, y) и V(x, y) были непрерывны в т. z0(x0,y0)/

Функция называется непрерывной на Д, если она непрерывна во всех точках этого множества.

38. Основные элементарные функции комплексной переменной.

1)  w=az+b, a, b э C

2)  Степенная w=zn, n э z, n>0

3)  Многочлен w=Pn(z).

Непрерывны во всех точках однозначно

4)  Дробно-рациональная функция . Непрерывна, кроме тех точек, где Qm(z)=0.

5)  , n – хххххх функция. Z=wn

6)  показательная