Комплексная экспонента
4 Комплексная экспонента
Правило (2) предыдущего параграфа дает нам право определить экспоненту чисто мнимого числа:
Действительно, таким образом определенная функция обладает следующими свойствами:
Здесь первое равенство есть частный случай (2) предыдущего параграфа, когда , второе равенство есть не что иное как формула Муавра, а третье равенство вытекает из периодичности гармоник. Заметим, что никакой коллизии в обозначения в связи с известной экспонентой
действительной переменной не возникает; равенство аргументов
возможно лишь если
. Но тогда определение (1) комплексной экспоненты дает нам значение
, что совпадает с известным равенством
.
Определение (1) позволяет записать ненулевое комплексное число в показательной форме
В таком виде легче оперировать с комплексными числами, когда речь идет об умножении, делении и возведении в степень. Например,
Определим теперь комплексную экспоненту для любого комплексного числа
Функция будет уже функцией комплексного переменного. Для нее справедливы свойства
Е1. Область определения – все комплексные числа.
Е2. ;
Е3. —«школьная экспонента»
Е4. Комплексная экспонента периодична с периодом
Е5. Область значений – все комплексные числа, кроме нуля
4.1 Извлечение корней из комплексных чисел.
C помощью комплексной экспоненты легко извлекаются корни из комплексных чисел. Решим уравнение . Если w=0, то имеется только один нулевой корень кратности n. Пусть
. Запишем
в показательном виде
, где
. Найдем арифметический корень n-ой степени из r и обозначим его
. Тогда уравнение
имеет n корней, расположенных на окружности радиуса
в вершинах правильного n-угольника
/*/ Действительно, применяя формулу Муавра, легко проверить, что все — корни уравнения
Пусть
– какой-либо корень уравнения
. Тогда
. Приравнивая модули, получаем равенство
. Сокращая на
и деля на
, получим
откуда
и
. Это значит, что
для некоторго целого
. Поделим
на
с остатком:
, где
. Тогда
и . Следовательно,
.
Корни (3) расположены в вершинах правильного — угольника, вписанного в окружность радиуса
, имеющей центр в нулевой точке.
Например, найдем корни уравнения
. Здесь
арифметический корень шестой степени из 64 равен 2, а агрумент
равен нулю. Следовательно, корни имеют вид
5 Последовательности и ряды комплексных чисел
Предложение 1. Пусть – последовательность комплексных чисел,
. Тогда