Коммутативные кольца. делители нуля
+=
1. Кл — нейтр. эл-т; 2. " Є Zm: —=, т. к.+ ==Þ=.
7) ={ Є Zm : (a, m)=1}- группа по умножению.
8) Мн-во всех движений плоскости (пространства) относительно их композиции образуют группу.
(φ·ψ)(А)=φ(ψ(А))
9) Мн-во всех подобий плоскости (пространства), мн-во всех аффинных преобразований пл-ти являются группами относительно композиции преобразований.
10) Мн-во всех квадратных матриц порядка n над полем Р является группой относительно сложения матриц, причём коммутативной.
11) Мн-во всех обратимых квадратных матриц n-го порядка над полем Р образует группу по умножению, при n2 некоммут-на.
12) М={1,2,…,n} nЄN — мн-во всех натуральных чисел.
Тогда взаимно-однозначное отображение φ: М→М наз-ся подстановкой n – ой степени.
φ==
α1, α2,…, αn — перестановка из М={1,2,…,n}. Т. о. таких подстановок будет n!=1·2·…·n, т. к.перестановок α1, α2,…, αn $ n!.
Умножение подстановок n-ой степени осуществляется обычным образом (φ·ψ)(А)=φ(ψ(А))
Sn — мн-во всех подстановок n-ой степени.
Sn — группа по умножению, при этом конечная с числом эл-тов n!.
Вопрос 2.
Определение кольца. Св-ва. Коммутативные кольца. Делители нуля. Примеры колец.
п. 1 Определение кольца.
Опр. К≠Æ,+, · — бин. операция.
К — кольцоÛ
1° " а, b, c ЄK:a+(b+c)=(a+b)+c |
|
2° " а, b ЄK:a+b=b+a |
|
3° " а Є K $ 0ЄK:a+0=0+a=a |
|
4° " а Є K $ — aЄK:a+(-a)=(-a)+a=0 5° " а, b, c ЄK:a·(b·c)=(a·b)·c |
|
6° (a+b)·c=a·c+b·c и c·(a+b)=c·a+c·b |
Часто математики рассматривают кольца, удовлетворяющие дополнительным требованиям.
Опр. К — коммутативное кольцо, если умножение удовлетворяет св-ву коммутативности, т. е. " а, bЄK: a·b=b·a.
Опр. Кольцом с единицей наз-ют такое кольцо, в котором есть единичный эл-т, т. е. $ е Є К " а Є К: а·е=е·а=а.
Аксиомы 1°- 4°показывают, что любое кольцо является коммутативной группой по сложению, которую наз-ют аддитивной группой кольца.
п. 2 Св-ва сложения.
Т. к. К – является группой по сложению, то выполняются следующие св-ва группы:
1. В кольце существует единственный нулевой эл-т.
2. Каждый эл-т имеет единственный противоположный.
3. -(-а)=а " aЄ K.
4. а+b=a+cÞb=c. " a, b Є K (закон сокращения)
5. Уравнение а+x=b " a, b Є K имеет единственное решение вида b+(-a).
6. " a, b Є K: -(a+b)=(-b)+(-a)=(-а)+(-b).
п. 3 Разность двух элементов кольца.
Опр. Разностью эл-тов кольца К наз-ся эл-т кольца, который является решением уравнения b+x=a и обозначается a-b " a, b Є K.
Из св-ва 5 следует, что " a, b Є K их разность a-b однозначно определена, причем a-b=a+(-b). (*)
Тем самым в кольце появляется ещё одна бинарная операция — вычитание.
1. –а=0-а
2. –(a+b)=-a-b
3. a-b=c-dÛa+d=b+c
4. (a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d)
5. (а — b)- (c-d)=(а+d)-( b+с)
Док-во:
1. 0-a=((*))=0+(-a)=-a
2. –a-b=((*))=-a+(-b)=(6.)=-(a+b)
3. a-b=c-dÛ((*)) Ûa+(-b)=c+(-d)
(a+(-b))+(b+d)=(c+(-d))+(b+d)
a+((-b)+b)+d=c+((-d)+d)+b
a+d=c+b
п. 4 Свойства умножения.
1. a·0=0 5.
0·a=0 6.
2. a·(-b)=-(ab) 7.
(-a)·b=-ab
3. (-a)·(-b)=ab
4. a·(b-c)=ab-ac
Док-во:
1. a·0=a·(0+0)=(5°)=a·0+a·0 | +(-a·0)
(-a·0)+(a·0)= (-a·0)+(a·0+a·0)
0=a·0
2. a·(-b)+ab=(5°)=a(-b+b)=( 4°)=a·0=(cв.1)=0
a·(-b)+ab=0Þab-противоположный для a(-b) и обозначается –(ab)
3. (-a)·(-b)=(св.2)=-(а(-b))=(св.2)=-(-(аb))=ab. чтд
Опр.: Эл-ты a, b Є K наз-ся делителями нуля, если
п. 5 Примеры.
1. Z, Q, R, C – кольца, коммутативные кольца c единицей, не содержат делители нуля.
2. 2Z — коммутативное кольцо без 1 и без делителей нуля.
3. Zm ={,,,… ,}- кольцо классов вычетов по модулю m – коммутативное кольцо c единицей = . 1mЄN
+= =
Мн-во классов вычетов по модулю m, коммутативное кольцо с единицей = .
При составном модуле m, Zm содержит делители нуля.
Пусть m=6=2·3 Z6 ={,… ,} ·==
¹0, ¹0
и -делители нуля.
Узнать стоимость за 15 минут
Распродажа дипломных
Скидка 30% по промокоду Diplom2020
Подпишись на наш паблик в ВК
Нужна работа?
Контрольная работа у наших партнеров