Коммутативные кольца. делители нуля

+=

1. Кл — нейтр. эл-т; 2. " Є Zm: —=, т. к.+ ==Þ=.

7) ={ Є Zm : (a, m)=1}- группа по умножению.

8) Мн-во всех движений плоскости (пространства) относительно их композиции образуют группу.

(φ·ψ)(А)=φ(ψ(А))

9) Мн-во всех подобий плоскости (пространства), мн-во всех аффинных преобразований пл-ти являются группами относительно композиции преобразований.

10) Мн-во всех квадратных матриц порядка n над полем Р является группой относительно сложения матриц, причём коммутативной.

11) Мн-во всех обратимых квадратных матриц n-го порядка над полем Р образует группу по умножению, при n2 некоммут-на.

12) М={1,2,…,n} nЄN — мн-во всех натуральных чисел.

Тогда взаимно-однозначное отображение φ: М→М наз-ся подстановкой n – ой степени.

φ==

α1, α2,…, αn — перестановка из М={1,2,…,n}. Т. о. таких подстановок будет n!=1·2·…·n, т. к.перестановок α1, α2,…, αn $ n!.

Умножение подстановок n-ой степени осуществляется обычным образом (φ·ψ)(А)=φ(ψ(А))

Sn — мн-во всех подстановок n-ой степени.

Sn — группа по умножению, при этом конечная с числом эл-тов n!.

Вопрос 2.

Определение кольца. Св-ва. Коммутативные кольца. Делители нуля. Примеры колец.

п. 1 Определение кольца.

Опр. К≠Æ,+, · — бин. операция.

К — кольцоÛ

Часто математики рассматривают кольца, удовлетворяющие дополнительным требованиям.

Опр. К — коммутативное кольцо, если умножение удовлетворяет св-ву коммутативности, т. е. " а, bЄK: a·b=b·a.

Опр. Кольцом с единицей наз-ют такое кольцо, в котором есть единичный эл-т, т. е. $ е Є К " а Є К: а·е=е·а=а.

Аксиомы 1°- 4°показывают, что любое кольцо является коммутативной группой по сложению, которую наз-ют аддитивной группой кольца.

п. 2 Св-ва сложения.

Т. к. К – является группой по сложению, то выполняются следующие св-ва группы:

1. В кольце существует единственный нулевой эл-т.

2. Каждый эл-т имеет единственный противоположный.

3. -(-а)=а " aЄ K.

4. а+b=a+cÞb=c. " a, b Є K (закон сокращения)

5. Уравнение а+x=b " a, b Є K имеет единственное решение вида b+(-a).

6. " a, b Є K: -(a+b)=(-b)+(-a)=(-а)+(-b).

п. 3 Разность двух элементов кольца.

Опр. Разностью эл-тов кольца К наз-ся эл-т кольца, который является решением уравнения b+x=a и обозначается a-b " a, b Є K.

Из св-ва 5 следует, что " a, b Є K их разность a-b однозначно определена, причем a-b=a+(-b). (*)

Тем самым в кольце появляется ещё одна бинарная операция — вычитание.

1. –а=0-а

2. –(a+b)=-a-b

3. a-b=c-dÛa+d=b+c

4. (a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d)

5. (а — b)- (c-d)=(а+d)-( b+с)

Док-во:

1. 0-a=((*))=0+(-a)=-a

2. –a-b=((*))=-a+(-b)=(6.)=-(a+b)

3. a-b=c-dÛ((*)) Ûa+(-b)=c+(-d)

(a+(-b))+(b+d)=(c+(-d))+(b+d)

a+((-b)+b)+d=c+((-d)+d)+b

a+d=c+b

п. 4 Свойства умножения.

1. a·0=0 5.

0·a=0 6.

2. a·(-b)=-(ab) 7.

(-a)·b=-ab

3. (-a)·(-b)=ab

4. a·(b-c)=ab-ac

Док-во:

1. a·0=a·(0+0)=(5°)=a·0+a·0 | +(-a·0)

(-a·0)+(a·0)= (-a·0)+(a·0+a·0)

0=a·0

2. a·(-b)+ab=(5°)=a(-b+b)=( 4°)=a·0=(cв.1)=0

a·(-b)+ab=0Þab-противоположный для a(-b) и обозначается –(ab)

3. (-a)·(-b)=(св.2)=-(а(-b))=(св.2)=-(-(аb))=ab. чтд

Опр.: Эл-ты a, b Є K наз-ся делителями нуля, если

п. 5 Примеры.

1. Z, Q, R, C – кольца, коммутативные кольца c единицей, не содержат делители нуля.

2. 2Z — коммутативное кольцо без 1 и без делителей нуля.

3. Zm ={,,,… ,}- кольцо классов вычетов по модулю m – коммутативное кольцо c единицей = . 1mЄN

+= =

Мн-во классов вычетов по модулю m, коммутативное кольцо с единицей = .

При составном модуле m, Zm содержит делители нуля.

Пусть m=6=2·3 Z6 ={,… ,} ·==

¹0, ¹0

и -делители нуля.