Решение задач по математике | Коллоквиум по алгебре и геометрии | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Коллоквиум по алгебре и геометрии


1.  Множества и отображения множеств. Теорема об ассоциативности умножения отображений.

Множеством называется некоторая совокупность составляющих его элементов. Множества обозначают большими латинскими буквами, а их элементы – соответствующими малыми. Принадлежность элемента множеству обозначается: a ∈ А. Стандартные множества: N-натур. числа, Z-целые, R-вещ., Q-рац., ∅-пустое множ.

Множества задаются либо перечислением, либо уравнением. Обозначение А ⊆ В – А является подмножеством В, т. е. каждый элемент А также является элементом В (если ⊇, то А является надмножеством В, т. е. все элементы В включены в А). Основные действия: 1) АВ – объединение, 2) АВ – пересечение, 3) АВ – разность. 1),2),3) – ассоциативны, коммутативны, дистрибутивны. Отображением (функцией) множества Х на множество У является закон, по которому каждому элементу множества Х ставится в соответствие единственный элемент множества У. Х – область определения, У – область значений.

Теорема об ассоциативности умножения отображений: умножение отображений ассоциативно. Доказательство:

(1)

(2) (1)=(2) и Теорема доказана.

2.  Алгебраические операции. Кольца и поля.

На множестве М задана алгебраическая операция (+,-,*,/, и т. д.), если каждой паре (х, у) из М*М можно сопоставить 3й элемент из М, который обозначается х<алг. оп.>у (напр. х+у). Например на N определена операция +, т. к. она справедлива для всех натуральных чисел, и ее результат – натуральное число. А операции – и / на N не определены.

Кольцом называется множество, для которого определены сложения и умножения, и выполняются свойства: 1) сложение коммутативно, 2) сложение ассоциативно, 3) существует нулевой элемент, 4) для всех элементов а существует противоположный элемент –а, такой, что а+(-а)=0, 5) умножение ассоциативно, 6) выполняется условие дистрибутивности а*(b+c)=a*b+a*c, (a+b)*c=a*c+b*c, 7) существует такой элемент (1), что а*1=а для всех а. Пример кольца: Z.

Полем называется кольцо, в котором дополнительно выполняются условия: 1) умножение коммутативно, 2) для всех а≠0 существует обратный элемент, такой что а*а-1=1. Т. е. поле – это кольцо, на котором определено деление. Пример поля: R, Q.

3.  Поле комплексных чисел. Алгебраическая форма комплексного числа.

Под комплексными числами понимают множество (поле) , на котором определены операции сложения и умножения след. образом: . Комплексное число вида (0,1) обозначается i – мнимая единица. 1) i2=-1, – алгебраическая запись комплексного числа (а – рац. часть, b – мнимая часть).

4.  Геометрическое изображение комплексных чисел. Тригонометрическая форма комплексного числа.

Описание: C:UsersJessieDeamonDesktopпункт4.pngГеометрическая форма: КI – вектор вектор на комплексной плоскости с началом в начале координат (радиус вектор), либо точка (a, b), где Z – KI, r – длина вектора, r=|Z|=√(a2+b2). Угол, образуемый радиус вектором с Ох называется аргументом, обозначается argZ. Аргумент неоднозначно определен, с точностью до 2πk.
– тригонометрическая форма комплексного числа.

5.  Геометрическая интерпретация действий над комплексными числами. Формула Муавра.

Описание: C:UsersJessieDeamonDesktopпункт5.pngKI вида

Z1=(a, b), Z2=(c, d), Z3=Z1+Z2

cosφ=a/r, sinφ=b/r, r=√(a2+b2)

Z1=r1(cosφ1+isinφ1), Z2=r2(cosφ2+isinφ2)

Z1Z2=r1r2((cosφ1*cosφ2-sinφ1*sinφ2)+(cosφ1*sinφ2+sinφ1*cosφ2)i)=r1r2(cos(φ1+φ2)+isin(φ1+φ2))
Z1/Z2=r1/r2(cos(φ1-φ2)+isin(φ1-φ2))

cosφ+isinφ=eiφ – обозначение Эйлера

Формула Муавра: (cosφ+isinφ)n=cos(nφ)+isin(nφ), для всех n∈Z.

6.  Корни n-ой степени из комплексного числа. Корни из 1.

Для всякого ненулевого Z∈C существует ровно n корней n-ной степени, имеющих вид:

, где k=1,2,…,n и располагаются в вершинах правильного n-угольника. Доказательство: пусть w∈C, , тогда , т. е. ⇿ . Теорема доказана. Множество корней n-ной степени из 1 замкнуто относительно умножения и взятия обратного элемента.

7.  Векторы на плоскости и в пространстве. Линейные операции над векторами.

Геометрическим вектором называется направленный отрезок прямой (упорядоченная пара точек, соответсвующих точке начала и точке конца по порядку). Нулевой вектор – т. начала и т. конца совпадают. Длиной вектора называется расстояние между его точками начала и конца. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных. Векторы называются компланарными, если найдется плосткось, которой они параллельны. Векторы равны, если они коллинеарны, сонаправлены и имеют одинаковые длины. Линейные операции над векторами: сложение, вычитание, умножение на число. Свойства линейных операций: 1) сложение коммутативно, 2) сложение ассоциативно, 3) для всякого вектора существует ему противоположный, 4) сложение ненулевого вектора с нулевым дает этот же ненулевой вектор, 5) умножение вектора на число ассоциативно, 6) умножение вектора на сумму чисел дистрибутивно, 7) умножение числа на сумму векторов дистрибутивно. Множество, на котором определены операции сложения и умножения на вещественные числа называется векторным (линейным) пространством.

8.  Линейная зависимость и независимость векторов.

Пусть существует система . Тогда – линейная комбинация векторов. Если то комбинация тривиальная. Иначе – нетривиальная. Система называется линейно зависимой, если существует ее нетривиальная комбинация, равная 0. Система линейно независима, если она равна 0 только в тривиальном случае. Если в системе один из векторов нулевой, то система линейно зависима. Если в системе некоторая подсистема линейно зависима, то и вся система линейно зависима. Система из 2-х векторов линейно зависима они коллинеарны, из 3-х они компланарны. Любые 4 вектора линейно зависимы (в 3-х мерном пространстве).

9.  Базисы на прямой, на плоскости и в пространстве. Координаты вектора.

Базисом на прямой называется всякий ненулевой вектор лежащий на этой прямой. Базисом в пространстве называется система из 3-х неколлинеарных векторов взятых в некотором порядке. Всякий вектор на прямой, плоскости или в пространстве единственным образом представляется в виде линейной комбинации базисных векторов где и коэффициент разложения по базису или иначе координаты .

10.  Аффинные системы координат.

Если на прямой плоскости или в пространстве выбрана точка О — начало координат и базис, то задана Аффинная система координат. Аффинная система координат называется декартовой, если выбранный базис состоит из попарно-перпендикулярных векторов длины 1.

11.  Скалярное произведение векторов.

Скалярное произведение векторов – операция, результатом которой является число. Вид операции где — косинус наименьшего угла между и .Частные случаи:

.

12.  Векторное произведение векторов.

Пусть даны 2 вектора . Тогда их векторным произведением называется вектор , удовлетворяющий условиям

1)2) и 3) образуют правую тройку. – обозначение операции.

13.  Смешанное произведение векторов.

Если даны то их векторным произведением () называется скалярное произведение 1 на векторное 2 и 3 (). Смешанное произведение равно объему параллелепипеда, образованного взятому со значением «+»

если — правая тройка и “–“ если нет.

14.  Основные уравнения прямой на плоскости.

Ax+by+c=0 – общее уравнение (a, b – координаты норм. Вектора);

– уравнение ( – координаты точки на прямой; l, m – направляющий вектор);

y=kx+b – прямая с угловым коэффициентом;

– по 2-м точкам;

, – параметрическое уравнение.

15.  Взаимное расположение прямых на плоскости. Угол между прямыми.

1) условие параллельности. ax+by+c=0, параллельны, . Если они заданы канонически, то для прямых , Если заданы разные уравнения то

Условие перпендикулярности соответственно через k вектор (выводится устно).

2) угол между прямыми – меньший из образованных ими углов.

A, b=

В разных уравнениях где

16.  Нормальное уравнение прямой на плоскости. Отклонение точки от плоскости. Формула расстояния точки от плоскости.

Пусть прямая проходит на расстаянии р от начала координат и единичный нормальный вектор, направленный в сторону прямой имеет вид ( cos Тогда xcos нормальное уравнение. Расстояние от точки до прямой : d=

Величина называется отклонением точки от плоскости.

17.  Теорема о пучке прямых.

Пучок прямых – совокупность прямых, проходящих через некоторую данную точку.

Теорема: прямая в точке Тогда всякая прямая, проходящая через точку , задаётся уравнением

Доказательство:

не коллинеарна и – базис. Пусть a, b нормаль некоторой прямой, проходящей через точку

Тогда для некоторых . Докажем, что пп задается уравнением от (х):

т. е. лежит на пп

ее нормаль: !

18.  Основные уравнения плоскости.

1)ax+by+cz+d=0 – общее уравнение

2) – уравнение в отрезках.

3)

4) уравнение по 3-м точкам:

5) – параметрическое уравнение

19.  Нормальное уравнение плоскости. Отклонение точки от плоскости. Формула расстояния от точки до плоскости.

– нормальное уравнение плоскости. Задается по аналогии с нормальным уравнением прямой

p — расстояние от н. к. ед. н.- вектор координат (cos

– отклонение точки от плоскости

Расстояние от точки () до плоскости ax+by+cz+d=0 задается формулой

20.  Взаимное расположение плоскостей в пространстве. Угол между плоскостями.

Углом между плоскостями называется величина наименьшего из двугранных углов образованных этими плоскостями (Считается по между норм.)

Взаимное расположение плоскостей пересечение по прямой вида

21.  Уравнения прямой в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью

– каноническое уравнение в пространстве

— через 2 точки

Уравнение по пересечению 2-х плоскостей из предыдущего вопроса

Взаимное расположение прямой и плоскости

Прямая плоскость ax+by+cz+d=0.

Условие параллельности:

Условие перпендикулярности (колл ) где –нормаль, – напр.

Cos(угол между прямыми и плоскостью.

22.  Взаимное расположение прямых в пространстве.

Описание: C:UsersJessieDeamonDesktopКоллАлгГеомпункт22.png

1) усл принадлежит 1 плоскости

2)условие параллельности

3)условие пересечения лежат в 1 плоскости,

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод