Учебные материалы по математике | Каноническое разложение многочлена на множители | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Каноническое разложение многочлена на множители


 

хотя бы один из сомножителей делится на .

Пусть, например,

.

Степень меньше п единственным образом, с точностью до порядка сомножителей и ассоциированности, может быть разложен в произведение неприводимых многочленов таким будет и разложение . ▲.

Каноническое разложение многочлена на множители

1) Если – разложение многочлена на неприводимые множители и – старшие коэффициенты многочленов соответственно, то это разложение можно записать в виде: , где – неприводимый многочлен со старшим коэффициентом, равным 1 .

. В этой форме разложение единственно с точностью до порядка следования сомножителей.

2) В разложении среди сомножителей могут быть равные и их можно объединить в степени. Тогда разложение примет вид: , где – попарно различные неприводимые над Р многочлены со старшими коэффициентами, равными 1 (нормированные многочлены), . Такое разложение многочлена называют каноническим разложением многочлена f(x) на множители.

ВОПРОС № 9 Разложение многочлена на неприводимые множители над полем комплексных и над полем действительных чисел.

п. 1. Многочлены над полем комплексных чисел .

Опр.1. Многочлен кольца степени называется приводимым над полем , если , такие что , причем и . В противном случае, многочлен называется неприводимым над .

Справедлива так называемая основная теорема алгебры:

Теорема 1. Всякий многочлен с комплексными коэффициентами степени имеет хотя бы один комплексный корень.

Внимание: необходимо знать понятие корня многочлена: если , то называется корнем , если .

Теорема 2. Над полем комплексных чисел неприводимыми являются только многочлены первой степени.

Доказательство вытекает из теоремы 1.

Как известно, всякий многочлен степени может быть представлен в виде: , где – попарно различные нормированные неприводимые над Р многочлены (это так называемое каноническое разложение многочлена ).

Поэтому имеет место следующее предложение: Каноническое разложение многочлена степени имеет вид: , где – попарно различные комплексные числа.

Следствие: Многочлен степени имеет ровно п корней, считая каждый корень столько раз, какова его кратность.

п. 2. Многочлены над полем действительных чисел .

Пусть – кольцо многочленов над полем действительных чисел .

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод