Каноническое разложение многочлена на множители
хотя бы один из сомножителей делится на
.
Пусть, например,
.
Степень меньше п
единственным образом, с точностью до порядка сомножителей и ассоциированности, может быть разложен в произведение неприводимых многочленов
таким будет и разложение
. ▲.
Каноническое разложение многочлена на множители
1) Если – разложение многочлена
на неприводимые множители и
– старшие коэффициенты многочленов
соответственно, то это разложение
можно записать в виде:
, где
– неприводимый многочлен со старшим коэффициентом, равным 1
.
. В этой форме разложение единственно с точностью до порядка следования сомножителей.
2) В разложении среди сомножителей могут быть равные и их можно объединить в степени. Тогда разложение примет вид:
, где
– попарно различные неприводимые над Р многочлены со старшими коэффициентами, равными 1 (нормированные многочлены),
. Такое разложение многочлена
называют каноническим разложением многочлена f(x) на множители.
ВОПРОС № 9 Разложение многочлена на неприводимые множители над полем комплексных и над полем действительных чисел.
п. 1. Многочлены над полем комплексных чисел .
Опр.1. Многочлен кольца
степени
называется приводимым над полем
, если
, такие что
, причем
и
. В противном случае, многочлен
называется неприводимым над
.
Справедлива так называемая основная теорема алгебры:
Теорема 1. Всякий многочлен с комплексными коэффициентами степени имеет хотя бы один комплексный корень.
Внимание: необходимо знать понятие корня многочлена: если , то
называется корнем
, если
.
Теорема 2. Над полем комплексных чисел неприводимыми являются только многочлены первой степени.
Доказательство вытекает из теоремы 1.
Как известно, всякий многочлен степени
может быть представлен в виде:
, где
– попарно различные нормированные неприводимые над Р многочлены (это так называемое каноническое разложение многочлена
).
Поэтому имеет место следующее предложение: Каноническое разложение многочлена степени имеет вид:
, где
– попарно различные комплексные числа.
Следствие: Многочлен степени имеет ровно п корней, считая каждый корень столько раз, какова его кратность.
п. 2. Многочлены над полем действительных чисел .
Пусть – кольцо многочленов над полем действительных чисел
.