Как решать задачи по тфкп

Введение

Теория функций комплексной переменной (ТФКП) дошла до наших дней почти в том виде, в котором оставил нам ее создатель великий французский математик Огюстен Коши (1789–1857 гг.).

ТФКП как продолжает, так и расширяет идеи математического анализа функций действительной переменной. Обычные определения, известные из алгебры чисел и математического анализа функций действительной переменной, остаются почти без изменений, но их содержание меняется весьма существенным образом. Хорошо известно, что уже обычные простейшие операции над действительными числами могут вывести за пределы их области. И решения большинства алгебраических уравнений не могут быть выражены только обычными действительными числами. Поэтому приходится расширять область действительных чисел, а таким расширением этой области и является область комплексных чисел.

Основное понятие комплексного анализа аналитическая функция. Это понятие позволяет доказать теоремы о существовании производных любого порядка от этих функций, о независимости интегралов от формы пути интегрирования. Позволяет сравнительно единообразно вычислять сложные интегралы с помощью вычетов и многое другое.

В данных методических указаниях изложены основные вопросы теории функций комплексной переменной в соответствии с действующими рабочими программами для студентов всех направлений подготовки бакалавров инженерно-технических специальностей вуза.

Каждый из выделенных параграфов содержит краткое изложение основных теоретических сведений, практическое руководство по решению стандартных математических задач. В конце предлагаются варианты заданий для расчетно-графической работы.

1. Функциональные ряды в комплексной области.
Степенные ряды

Пусть – последовательность функций, определенных на множестве . Функциональным рядом в комплексной области называется выражение

, (1)

где . Функции , называются членами ряда. Функциональный ряд (1) называется сходящимся в точке , если сходится числовой ряд . Функциональный ряд (1) называется абсолютно сходящимся в точке , если сходится числовой ряд . Множество точек, в которых функциональный ряд (1) сходится, называется областью сходимости ряда, а функция , – суммой функционального ряда (1).

Функциональный ряд вида

, (2)

где , комплексные постоянные, – комплексная переменная, называется степенным рядом в комплексной области. Числа называются коэффициентами ряда, – его центром.

Область определения степенного ряда – вся комплексная плоскость. Очевидно, что в точке ряд (2) сходится. Следовательно, область сходимости любого степенного ряда состоит, по крайней мере, из одной точки.

Теорема 1 (Абеля). Если степенной ряд (2) сходится в точке , то он сходится абсолютно при любом , удовлетворяющем условию .

Областью сходимости ряда (2) является круг с центром в точке . Радиус сходимости степенного ряда может быть найден по формулам:

(3)

, (4)

если указанные пределы существуют.

Если , то круг сходимости – вся конечная комплексная плоскость.

Если , то круг вырождается в точку , а в его внешности, т. е. во всей комплексной плоскости, кроме точки , ряд расходится.

На окружности ряд (2) может вести себя по-разному: может сходиться во всех точках окружности, расходиться во всех точках, может в одних сходиться, а в других расходиться.

Пример 1.1. Найти радиус сходимости степенного ряда: .

Решение. Воспользуемся формулой (3). Имеем

,

.

Пример 1.2. Найти круг сходимости степенного ряда: .

Решение. Воспользуемся формулой (4). Имеем

, ,

.

Следовательно, – круг сходимости данного ряда.

2. Разложение функций в ряд Тейлора

Теорема 2 (о разложении аналитической функции в степенной ряд). Пусть – аналитическая функция в области , и – расстояние от до границы . Тогда в круге функция разлагается в степенной ряд

, где , (5)

называемый рядом Тейлора функции . При этом коэффициенты ряда удовлетворяют соотношениям

(6)

при любых , .

Первый отличный от нуля член ряда Тейлора называется главным членом разложения в ряд Тейлора, а его степень – порядком главного члена.

Из этой теоремы следует еще одно определение аналитической функции.

Функция называется аналитической в точке , если она разлагается в степенной ряд в некоторой окрестности точки .

Функция называется аналитической в области , если она разлагается в степенной ряд в некоторой окрестности каждой точки .

Ряды Тейлора некоторых элементарных функций:

, ; (7)

, ; (8)

, ; (9)

, ; (10)

, ; (11)

, . (12)

Формула (12) называется суммой бесконечной геометрической прогрессии и является следствием (11) при .

Пример 2.1. Разложить функцию в ряд по степеням и определить радиус сходимости ряда.

Решение. Найдем коэффициенты ряда Тейлора, пользуясь формулой (5):

.

Таким образом

.

Поскольку функция аналитична на всей комплексной плоскости, то по теореме 2 этот ряд сходится также при всех .

Пример 2.2. Разложить функцию в ряд по степеням и определить радиус сходимости ряда.

Решение. Преобразуем данную функцию:

.

Обозначим и воспользуемся разложением (12) для функции при . Получим:

.

Из условия следует, что полученный ряд сходится при , т. е. при .

Пример 2.3. Разложить функцию в ряд по степеням и определить радиус сходимости ряда.

Решение. Найдем нули знаменателя дроби: , . Так как , , то данная функция аналитична в круге как частное двух аналитических функций. Представим данную функцию в виде суммы простейших дробей:

.

Каждое слагаемое разложим в ряд по степеням , пользуясь формулой (12):

, ,

, .

Складывая полученные разложения и учитывая аналитичность функции в круге , получаем:

, .

Пример 2.4. Разложить функцию в ряд по степеням и определить радиус сходимости ряда.

Решение. Преобразуем данную функцию и воспользуемся разложением (9):

.

Полученный ряд сходится на всей комплексной плоскости, так как ряд (9) сходится при всех .

3. Ряд Лорана

Рядом Лорана называется выражение

, (13)

где , . Ряд Лорана называется сходящимся на множестве , если на этом множестве сходятся оба функциональных ряда:

(14)

и

. (15)

Суммой ряда Лорана (13) называется сумма , где и – суммы рядов (14) и (15) соответственно. Ряд (14) называется главной, а ряд (15) – правильной частью ряда Лорана. Ряд Лорана называется абсолютно сходящимся на множестве , если на этом множестве абсолютно сходятся ряды (14) и (15).

Ряды Лорана позволяют изучать функции, аналитические в кольцах , где , .

Теорема 3 (о сходимости ряда Лорана). Ряд Лорана сходится абсолютно внутри кольца , где – радиус сходимости степенного ряда (15), а – радиус сходимости степенного ряда

, (16)

если .

Теорема 4 (Лорана). Функция , аналитическая в кольце , представляется в этом кольце сходящимся рядом Лорана

,

где

, (17)

, .

Главная часть ряда Лорана сходится во внешности круга с центром в точке и радиусом , где , как и в случае степенных рядов, может быть найден (если существуют соответствующие пределы) по формулам:

(18)

или

. (19)

При эта область вырождается в в несобственную точку , а при – во всю плоскость, за исключением, возможно, .

Пример 3.1. Найти область сходимости ряда .

Решение. Найдем круг сходимости правильной части ряда, т. е. ряда . Воспользуемся формулой (4). Так как

,

то это круг . Для ряда

,

представляющего собой главную часть данного ряда,

,

поэтому его область сходимости . Исходный ряд сходится в кольце .

Пример 3.2. Разложить функцию в ряд Лорана в кольце .

Решение. Записав функцию в виде

,

замечаем, что данная функция является аналитической на всей комплексной плоскости, за исключением точек и , в которых знаменатель дроби обращается в нуль. Эти точки лежат на границе данного кольца (рис. 1).

Рис. 1

Это означает, что в самом кольце функция аналитическая и, следовательно, по теореме 4 разлагается в ряд Лорана с центром в точке . Для получения этого разложения представим функцию в виде

, где , .

Функция аналитична в большем круге . Разложим ее в ряд Тейлора с центром в точке . Преобразуем следующим образом:

.

Положим и воспользуемся разложением (12). Получим:

, .

Функция также разлагается в ряд по положительным степеням , но этот ряд сходится лишь в круге , а мы хотим разложить функцию вне этого круга. Нужно получить разложение этой функции по отрицательным степеням. Преобразуем функцию следующим образом:

.

Положим и воспользуемся разложением (12). Получим:

.

Этот ряд сходится при , т. е. при . Окончательно получаем:

, .

Пример 3.3. Найти все возможные разложения в ряд Лорана по степеням функции .

Решение. Данная функция является аналитической на всей комплексной плоскости, за исключением точек и , в которых знаменатель дроби обращается в нуль. Следовательно, по теореме 4 она разлагается в ряд Лорана в любом кольце с центром в точке , не содержащем точку . Получаем два кольца: и . Найдем разложение функции в ряд Лорана в кольце . Имеем

.

В кольце :

.

Таким образом, получены два разложения данной функции в ряд Лорана по степеням :

, ,

, .

4. Изолированные особые точки аналитических функций

Точка называется правильной точкой функции , если функция аналитична в этой точке. Если функция не является аналитической в точке , но аналитична в некоторой ее проколотой окрестности , то точка называется изолированной особой точкой функции .

Так как проколотую окрестность точки можно рассматривать как частный случай кольца, то функция разлагается в нем в ряд Лорана по степеням . В зависимости от вида этого ряда различают три типа изолированных особых точек.

Изолированная особая точка для функции называется

1)  устранимой, если указанный ряд Лорана содержит только правильную часть:

;

2)  полюсом, если главная часть ряда Лорана содержит лишь конечное число членов:

,

причем , . Число называется порядком полюса, при полюс называется простым.

3)  существенно особой, если главная часть ряда Лорана содержит бесконечное число членов:

,

причем для бесконечного числа отрицательных номеров .

Во многих вопросах комплексного анализа удобно рассматривать расширенную комплексную плоскость, т. е. плоскость, дополненную символической точкой .

Точка называется изолированной особой точкой функции , если аналитична в области (в окрестности бесконечно удаленной точки). В этом случае точка является изолированной особой точкой функции . Точка называется устранимой особой точкой, полюсом порядка или существенно особой точкой функции в зависимости от того, является ли точка устранимой особой точкой, полюсом порядка или существенно особой точкой функции .

Разложим функцию в ряд Лорана в кольце

и произведем замену переменной . Получим ряд

,

который называется рядом Лорана функции в окрестности бесконечно удаленной точки. Ряд называется главной, а ряд – правильной частью ряда Лорана функции в окрестности бесконечно удаленной точки. Если главная часть разложения отсутствует, то точка является устранимой особой точкой. В этом случае полагают по определению и говорят, что является правильной точкой функции . При этом, если является нулем порядка функции , то говорят, что является нулем порядка функции .

Теорема 5 (о связи между нулем и полюсом). Точка является полюсом порядка функции тогда и только тогда, когда она является нулем порядка функции .

Теорема 6 (о существенно особой точке). Если существует окрестность существенно особой точки аналитической функции , в которой , то точка является существенно особой и для функции .

Теорема 7 (Сохоцкого). Если – существенно особая точка функции , то для любого существует последовательность точек , , сходящаяся к точке , такая что .

Функция, аналитическая на всей комплексной плоскости, называется целой. Целая функция, для которой точка является существенно особой точкой, называется целой трансцендентной. Функция, аналитическая в области всюду, кроме полюсов, называется мероморфной в .

На практике при определении вида особых точек часто бывает полезен следующий простой факт:

если – нуль порядка аналитической функции , а функция аналитична в точке и , то – полюс порядка функции .

Пример 4.1. Найти изолированные особые точки функции и определить их вид.

Решение. Данная функция представляет собой частное двух аналитических на всей комплексной плоскости функций, поэтому ее особыми точками могут быть только нули знаменателя. Найдем их:

, , .

Причем они являются простыми нулями.

Так как числитель ни в одной из этих точек не обращается в нуль, то по теореме 5 точки , , являются простыми полюсами исходной функции.

Пример 4.2. Найти изолированные особые точки функции и определить их вид.

Решение. Данная функция как частное двух аналитических на всей комплексной плоскости функций может иметь особой точкой только нуль знаменателя, т. е. . Однако точка является также и нулем числителя. Поэтому для выяснения вида особенности разложим функцию в ряд Лорана по степеням :

.

Ряд не содержит отрицательных степеней , поэтому – устранимая особая точка.

Пример 4.3. Найти изолированные особые точки функции и определить их вид.

Решение. Данная функция определена и дифференцируема на всей комплексной плоскости, за исключением точки . Это изолированная особая точка. Запишем ряд Лорана для функции в окрестности точки , пользуясь разложением (7) для функции , полагая :

.

Ряд содержит бесконечно много членов с отрицательными степенями. Поэтому точка – существенно особая.

Пример 4.4. Найти изолированные особые точки функции и определить их вид.

Решение. Данная функция есть частное двух аналитических на всей комплексной плоскости функций. Поэтому ее особыми точками являются нули знаменателя:

, .

Так как числитель дроби в нуль не обращается, то эти точки являются полюсами. Определим порядки полюсов по порядкам нулей функции

.

Вычислим:

, , ,

, , .

Следовательно, точки () являются нулями второго порядка функции и, по теореме 5, полюсами второго порядка функции .

Вид изолированной особенности характеризует поведение функции в окрестности этой особенности:

если – устранимая особая точка функции , то существует конечный предел функции в точке ;

если – полюс, то при